Закон сохранения импульса

Взрыв снаряда, прыжок с движущихся санок или запуск ракеты в космос — во всех этих ситуациях действует один и тот же фундаментальный закон природы: закон сохранения импульса. Он позволяет понять, как и почему изменяется движение тел при взаимодействии, и даёт мощный инструмент для решения самых разных задач — от школьных примеров до космических полётов.

$\vec{p} = m \vec{v}$

Импульс тела всегда сонаправлен скорости и измеряется в $\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

• Внутренние силы — силы взаимодействия между телами замкнутой системы.
• Внешние силы — силы, в отсутствии которых система была бы замкнутой.

Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что на материальную точку, находящуюся в инерциальной системе отсчёта, действует сила F:

$\vec{F} = m \vec{a}$

По определению ускорения:

$\vec{a} = \frac{\vec{v}_{\text{к}} − \vec{v}_{\text{н}}}{t}$

Подставим ускорение во второй закон Ньютона:

$\vec{F} = m \frac{\vec{v}_{\text{к}} − \vec{v}_{\text{н}}}{t}$

Выполним преобразования и получим формулу импульса силы:

$\vec{F} \cdot t = \Delta \vec{p}$

Таким образом, если к телу приложить силу, равную 0, то изменение импульса со временем будет отсутствовать. Следовательно, тело будет покоиться или двигаться с постоянной скоростью.

Рассмотрим случай, в котором два тела, которые находятся в замкнутой системе и обладают разной массой, взаимодействуют друг с другом:

В процессе удара на каждое тело действует сила:

По третьему закону Ньютона:

$\vec{F}_{12} = − \vec{F}_{21}$

После столкновения скорости тел изменятся:

Следует уточнить, что направления скоростей могут быть отличны от рисунка, всё зависит от масс тел и от модуля их скоростей. В случае если направление конечных скоростей выбраны неверно, их проекции будут иметь отрицательные значения.

Распишем импульс силы, действующей на первое и второе тело:

$\vec{F}_{12} \cdot t = m_1 \vec{v’}_1 − m_1 \vec{v}_1$

$m_1 \vec{v’}_1 = \vec{p}_{\text{к}1}$

$m_1 \vec{v}_1 = \vec{p}_{\text{н}1}$

$\vec{F}_{21} \cdot t = m_2 \vec{v’}_2 − m_2 \vec{v}_2$

$m_2 \vec{v’}_2 = \vec{p}_{\text{к}2}$

$m_2 \vec{v}_2 = \vec{p}_{\text{н}2}$

Получим:

$\vec{F}_{12} \cdot t = \vec{p}_{\text{к}1} − \vec{p}_{\text{н}1}$

$\vec{F}_{21} \cdot t = \vec{p}_{\text{к}2} − \vec{p}_{\text{н}2}$

Сложим полученные уравнения:

$(\vec{F}_{12} + \vec{F}_{21}) \cdot t = \vec{p}_{\text{к}2} − \vec{p}_{\text{н}2} + \vec{p}_{\text{к}1} − \vec{p}_{\text{н}1}$

Так как по третьему закону Ньютона сумма сил равна нулю, то:

$\vec{p}_{\text{к}2} − \vec{p}_{\text{н}2} + \vec{p}_{\text{к}1} − \vec{p}_{\text{н}1} = 0$.

Перенесём все начальные импульсы в одну сторону, а конечные в другую. Получим запись закона сохранения импульса:

$\vec{p}_{\text{н}1} + \vec{p}_{\text{н}2} = \vec{p}_{\text{к}1} + \vec{p}_{\text{к}2}$

Стоит отметить, что данный закон будет выполняться для любого количества тел замкнутой системы. Тогда уравнение примет вид:

$\vec{p}_{\text{н}1} + \vec{p}_{\text{н}2} + \dots + \vec{p}_{\text{н}n} = \vec{p}_{\text{к}1} + \vec{p}_{\text{к}2} + \dots + \vec{p}_{\text{к}n}$

Закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчёта для материальных точек суммарный импульс замкнутой системы остаётся постоянным.

Довольно часто при решении задач можно пользоваться законом сохранения импульса, даже при наличии внешних сил. Рассмотрим возможные ситуации:

1. Действие внешних сил на замкнутую систему скомпенсировано.
   В качестве примера рассмотрим два тела, движущиеся по горизонтальной поверхности без трения. Внешние силы, которые действуют на тела, — сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$.
   
   Силы скомпенсированы, значит, в данном случае можно использовать закон сохранения импульса.

2. Внешние силы гораздо меньше внутренних (характерно для быстрых процессов).
   Рассмотрим летящий снаряд, который в результате взрыва разорвался на две части.
   
   За малый промежуток времени взрыва импульс осколков меняется на конечную величину. Значит, силы отталкивания кусков снаряда в момент взрыва должны принимать большие значения. При условии, что сила тяжести также является конечной величиной, видим, что её действием по сравнению с внутренними силами $\vec{F}_{12}$ и $\vec{F}_{21}$ можно пренебречь.

3. Проекция внешних сил на определённую ось равна нулю.
   Если в тележку, движущуюся без трения по горизонтальной плоскости, бросить шар под углом к горизонту, то закон сохранения импульса на ось OY не выполняется, однако по оси OX действие внешних сил отсутствует. Таким образом, можно использовать закон сохранения импульса в проекцию на ось ОХ.
   

Задание 1

Определите, какой из векторов (1, 2, 3 или 4) изображает импульс одного из осколков $p_1$, образовавшихся при разрыве снаряда с импульсом $p_0$ в точке А, если импульс второго осколка равен $p_2$.

Задание 2

На санках массой 15 кг, движущихся по горизонтальной поверхности гладкого льда со скоростью 2 м/с, едет мальчик массой 45 кг. Определите модуль скорости санок после того, как мальчик спрыгнет с них со скоростью 3 м/с в направлении первоначального движения санок. Ответ выразите в метрах на секунду.

Дано:

$m = 15 \text{ кг}$.
$v_{\text{н}} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
$m_{\text{м}} = 45 \text{ кг}$.
$v_{\text{м}} = 3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.