Закон сохранения импульса

Взрыв снаряда, прыжок с движущихся санок или запуск ракеты в космос — во всех этих ситуациях действует один и тот же фундаментальный закон природы: закон сохранения импульса. Он позволяет понять, как и почему изменяется движение тел при взаимодействии, и даёт мощный инструмент для решения самых разных задач — от школьных примеров до космических полётов. 100points.ru[i]

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$

Импульс тела всегда сонаправлен скорости и измеряется в $\text{кг}·\frac{\text{м}}{\text{с}}$. 100points.ru[i]

• Внутренние силы — силы взаимодействия между телами замкнутой системы.
• Внешние силы — силы, в отсутствии которых система была бы замкнутой.

Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что на материальную точку, находящуюся в инерциальной системе отсчёта, действует сила F:

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

По определению ускорения:

$\overrightarrow{a}=\frac{{\overrightarrow{v}}_{\text{к}}-{\overrightarrow{v}}_{\text{н}}}{t}$

Подставим ускорение во второй закон Ньютона:

$\overrightarrow{F}=m\frac{{\overrightarrow{v}}_{\text{к}}-{\overrightarrow{v}}_{\text{н}}}{t}$

Выполним преобразования и получим формулу импульса силы:

$\overrightarrow{F}·t=\Delta \overrightarrow{p}$

Таким образом, если к телу приложить силу, равную 0, то изменение импульса со временем будет отсутствовать. Следовательно, тело будет покоиться или двигаться с постоянной скоростью.

Рассмотрим случай, в котором два тела, которые находятся в замкнутой системе и обладают разной массой, взаимодействуют друг с другом: 100points.ru[i]

В процессе удара на каждое тело действует сила: 100points.ru[i]

По третьему закону Ньютона:

${\overrightarrow{F}}_{12}=-{\overrightarrow{F}}_{21}$

После столкновения скорости тел изменятся: 100points.ru[i]

Следует уточнить, что направления скоростей могут быть отличны от рисунка, всё зависит от масс тел и от модуля их скоростей. В случае если направление конечных скоростей выбраны неверно, их проекции будут иметь отрицательные значения.

Распишем импульс силы, действующей на первое и второе тело:

${\overrightarrow{F}}_{12}·t=m_1{\overrightarrow{v’}}_1-m_1{\overrightarrow{v}}_1$

$m_1{\overrightarrow{v’}}_1={\overrightarrow{p}}_{\text{к}1}$

$m_1{\overrightarrow{v}}_1={\overrightarrow{p}}_{\text{н}1}$

${\overrightarrow{F}}_{21}·t=m_2{\overrightarrow{v’}}_2-m_2{\overrightarrow{v}}_2$

$m_2{\overrightarrow{v’}}_2={\overrightarrow{p}}_{\text{к}2}$

$m_2{\overrightarrow{v}}_2={\overrightarrow{p}}_{\text{н}2}$

Получим:

${\overrightarrow{F}}_{12}·t={\overrightarrow{p}}_{\text{к}1}-{\overrightarrow{p}}_{\text{н}1}$

${\overrightarrow{F}}_{21}·t={\overrightarrow{p}}_{\text{к}2}-{\overrightarrow{p}}_{\text{н}2}$

Сложим полученные уравнения:

$({\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{21})·t={\overrightarrow{p}}_{\text{к}2}-{\overrightarrow{p}}_{\text{н}2}+{\overrightarrow{p}}_{\text{к}1}-{\overrightarrow{p}}_{\text{н}1}$

Так как по третьему закону Ньютона сумма сил равна нулю, то:

${\overrightarrow{p}}_{\text{к}2}-{\overrightarrow{p}}_{\text{н}2}+{\overrightarrow{p}}_{\text{к}1}-{\overrightarrow{p}}_{\text{н}1}=0$.

Перенесём все начальные импульсы в одну сторону, а конечные в другую. Получим запись закона сохранения импульса:

${\overrightarrow{p}}_{\text{н}1}+{\overrightarrow{p}}_{\text{н}2}={\overrightarrow{p}}_{\text{к}1}+{\overrightarrow{p}}_{\text{к}2}$

Стоит отметить, что данный закон будет выполняться для любого количества тел замкнутой системы. Тогда уравнение примет вид:

${\overrightarrow{p}}_{\text{н}1}+{\overrightarrow{p}}_{\text{н}2}+\dots +{\overrightarrow{p}}_{\text{н}n}={\overrightarrow{p}}_{\text{к}1}+{\overrightarrow{p}}_{\text{к}2}+\dots +{\overrightarrow{p}}_{\text{к}n}$

Закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчёта для материальных точек суммарный импульс замкнутой системы остаётся постоянным. 100points.ru[i]

Довольно часто при решении задач можно пользоваться законом сохранения импульса, даже при наличии внешних сил. Рассмотрим возможные ситуации: 100points.ru[i]

1. Действие внешних сил на замкнутую систему скомпенсировано.
   В качестве примера рассмотрим два тела, движущиеся по горизонтальной поверхности без трения. Внешние силы, которые действуют на тела, — сила тяжести $m\overrightarrow{g}$ и сила реакции опоры $\overrightarrow{N}$.
   
   Силы скомпенсированы, значит, в данном случае можно использовать закон сохранения импульса.

2. Внешние силы гораздо меньше внутренних (характерно для быстрых процессов).
   Рассмотрим летящий снаряд, который в результате взрыва разорвался на две части.
   
   За малый промежуток времени взрыва импульс осколков меняется на конечную величину. Значит, силы отталкивания кусков снаряда в момент взрыва должны принимать большие значения. При условии, что сила тяжести также является конечной величиной, видим, что её действием по сравнению с внутренними силами ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{21}$ можно пренебречь.

3. Проекция внешних сил на определённую ось равна нулю.
   Если в тележку, движущуюся без трения по горизонтальной плоскости, бросить шар под углом к горизонту, то закон сохранения импульса на ось OY не выполняется, однако по оси OX действие внешних сил отсутствует. Таким образом, можно использовать закон сохранения импульса в проекцию на ось ОХ.
   100points.ru[i]

Задание 1

Определите, какой из векторов (1, 2, 3 или 4) изображает импульс одного из осколков $p_1$, образовавшихся при разрыве снаряда с импульсом $p_0$ в точке А, если импульс второго осколка равен $p_2$. 100points.ru[i]

Задание 2

На санках массой 15 кг, движущихся по горизонтальной поверхности гладкого льда со скоростью 2 м/с, едет мальчик массой 45 кг. Определите модуль скорости санок после того, как мальчик спрыгнет с них со скоростью 3 м/с в направлении первоначального движения санок. Ответ выразите в метрах на секунду.

Дано:

$m=15\text{ кг}$.
$v_{\text{н}}=2\frac{\text{м}}{\text{с}}$.
$m_{\text{м}}=45\text{ кг}$.
$v_{\text{м}}=3\frac{\text{м}}{\text{с}}$. 100points.ru[i]