Почему одни предметы остаются неподвижными, а другие начинают вращаться или падать? Всё определяется балансом сил и их моментов. Разобравшись в этих принципах, можно не только решать задачи, но и понимать, как устроено равновесие в реальном мире — от простого рычага до сложных конструкций.
Что изучает статика
Статика — это раздел механики, который изучает условия равновесия тел, то есть состояния, при котором тело остаётся неподвижным или движется без ускорения.
Чтобы описывать такие ситуации, вводятся несколько важных моделей и понятий.
Абсолютно твёрдое тело — это идеализированное тело, в котором расстояние между любыми двумя точками не изменяется при движении.
Любое движение твёрдого тела можно разложить на два вида:
- Поступательное — движение, при котором отрезок, соединяющий любые две точки тела, остаётся параллелен своему первоначальному положению.
- Вращательное — движение, при котором все точки тела движутся по окружностям. Центры этих окружностей лежат на одной прямой, которая называется осью вращения.
Любое перемещение тела — это результат сложения двух движений: поступательного и вращательного.
Сложение сил и условие отсутствия вращения
Рассмотрим тело с точкой вращения $O$, к которому приложены две силы $F_1$ и $F_2$:
Продлим линии действия сил и найдём точку их пересечения. Из этой точки отложим векторы сил и определим их сумму по правилу параллелограмма.
Если вращение относительно точки $O$ отсутствует, суммарная сила $F$ должна лежать на прямой, которая проходит через эту точку.
Опустим перпендикуляры к линиям действия сил от точки $O$ ($d_1$ и $d_2$) и проведём линии, параллельные сторонам параллелограмма ($b_1$ и $b_2$):
Параллелограммы, которые получены в результате построений, подобны.
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{F_2}{F_1}$
Пусть $\alpha$ — угол между $b_1$ и $F_1$. По свойству параллелограмма он также будет совпадать с углом между $b_2$ и $F_2$. Геометрически найдём значение синуса $\alpha$.
$\sin\alpha = \frac{d_1}{b_1} = \frac{d_2}{b_2} \implies \frac{b_1}{b_2} = \frac{d_1}{d_2}$
Выполнив преобразования, получим:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{d_1}{d_2}$
$F_1 d_1 = F_2 d_2$
Это соотношение называется правилом рычага.
Момент силы
Момент силы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на плечо. Обозначается как M и измеряется в Н · м.
$M = F \cdot d$
Плечо силы — расстояние от оси вращения до прямой, которая содержит вектор силы.
Рассмотрим тело, которое может вращаться вокруг точки $O$. К нему приложены четыре силы, как показано на рисунке.
Таким образом, момент каждой силы равен:
$M_1 = F_1 d_1$
$M_2 = F_2 d_2$
$M_3 = F_3 d_3$
$M_4 = F_4 d_4$
$M_2$ и $M_4$ вращают тело против часовой стрелки, а $M_1$ и $M_3$ — по часовой стрелке.
Знак момента определяется направлением вращения тела. Если момент вызывает вращение против часовой стрелки, он считается положительным; если по часовой — отрицательным:
$M_1 = -F_1 d_1$
$M_2 = F_2 d_2$
$M_3 = -F_3 d_3$
$M_4 = F_4 d_4$
Таким образом, первая форма записи правила моментов будет иметь вид:
$M_1 + M_2 + M_3 + M_4 = 0$
Правило моментов можно записать, приравняв моменты, которые совершают вращение против часовой стрелки, к моментам, вращающим тело по часовой стрелке. В таком случае все моменты записываются со знаком «плюс».
$M_{\text{прот. час}} = M_{\text{по час}}$
$M_2 + M_4 = M_1 + M_3$
Условия равновесия тела
В инерциальной системе отсчёта тело находится в равновесии, если выполняются два условия:
- Сумма всех действующих на тело сил равна нулю — поступательное движение отсутствует.
- Сумма моментов сил относительно любой точки равна нулю: моменты, вращающие тело по часовой стрелке, уравновешиваются моментами, вращающими его против часовой стрелки. В этом случае вращательное движение отсутствует.
В кодификаторе условия равновесия тела записываются в виде системы:
Задание 1
Нерастяжимая невесомая нить перекинута через идеальный неподвижный блок, жёстко прикреплённый к потолку. К одному концу нити подвесили груз массой $m =$ 0,2 кг, другой её конец закрепили на невесомом рычаге, к которому приложена сила $F$ (см. рисунок). Определите модуль силы $F$. Ответ дайте в ньютонах.
По второму закону Ньютона для груза: $T = mg$.
Плечо силы $T$ равно пяти клеткам, плечо силы $F$ — двум клеткам.
Запишем правило моментов:
$T \cdot 5x = F \cdot 2x$
$F = \frac{5}{2}T = \frac{5}{2}mg = \frac{5}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 10 = 5 \text{ Н}$
Ответ: 5 Н.
Задание 2
Система из неподвижных идеальных блоков (ступенчатый блок), невесомых нерастяжимых нитей и грузов находится в равновесии (см. рисунок). Определите, во сколько раз масса груза, который подвешен на нить, намотанную на шкив блока с большим диаметром $D =$ 50 см, меньше массы груза, который прикреплён к нити, намотанной на шкив меньшего диаметра $d =$ 8 см.
Плечи сил $m_1 g$ и $m_2 g$ будут равны половине диаметров шкивов.
Запишем правило моментов:
$m_1 g \cdot \frac{d}{2} = m_2 g \cdot \frac{D}{2}$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{D}{d} = \frac{50}{8} = 6{,}25$
Ответ: 6,25.
Задание 3
Однородная балка длиной 80 см опирается на вертикальную стенку, как показано на рисунке. Момент силы тяжести балки относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через точку $B$, равен 8 Н · м. Чему равна масса балки, если $\alpha = 30°$? Ответ выразите в килограммах.
Пусть плечо силы $mg$ равно $d$.
$M = mg \cdot d$
$d = \frac{M}{mg}$
Из геометрических соображений:
$\sin\alpha = \frac{d}{\frac{l}{2}}$
$d = \frac{l}{2}\sin\alpha$
$\frac{M}{mg} = \frac{l}{2}\sin\alpha$
$m = \frac{2M}{gl\sin\alpha}$
$m = \frac{2 \cdot 8}{10 \cdot 0{,}8 \cdot \sin 30°} = 4 \text{ кг}$
Ответ: 4 кг.
Задание 4
Тонкий однородный стержень $AB$ шарнирно закреплён в точке $A$ и удерживается горизонтальной нитью $BC$ (см. рисунок). Трение в шарнире пренебрежимо мало. Угол наклона стержня к горизонту $\alpha = 30°$. Модуль силы $F$, действующей на стержень со стороны шарнира, равен 7 Н. Чему равна масса стержня? Сделайте рисунок и укажите на нём все силы, действующие на стержень.
Дано:
$\alpha = 30°$
$F = 7$ Н
$m =$ ?
Пусть сила $F$ направлена под произвольным углом к стержню. Разложим её на две составляющие: по оси $X$ и $Y$. Поскольку стержень находится в равновесии, сумма сил по каждой оси равна нулю. Поэтому проекция $F_x$ направлена вправо, чтобы уравновесить силу $T$, направленную влево. Аналогично проекция $F_y$ уравновешивает силу тяжести.
Запишем второй закон Ньютона:
$Oy{:}\quad F_y − mg = 0 \implies F_y = mg$
$Ox{:}\quad F_x − T = 0 \implies F_x = T$
По теореме Пифагора:
$F^2 = F_x^2 + F_y^2$
$F^2 = T^2 + (mg)^2$
Из геометрических соображений:
$\frac{d_1}{\frac{l}{2}} = \cos\alpha \implies d_1 = \frac{l}{2}\cos\alpha$
$\frac{d_2}{l} = \sin\alpha \implies d_2 = l\sin\alpha$
Рассмотрим правило моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку $O$:
$mg \cdot d_1 = T \cdot d_2$
$mg \cdot \frac{l}{2}\cos\alpha = T \cdot l\sin\alpha$
$T = \frac{mg}{2\,\mathrm{tg}\,\alpha}$
$F^2 = \frac{m^2 g^2}{4\,\mathrm{tg}^2\alpha} + m^2 g^2$
$F = mg\sqrt{\frac{1}{4\,\mathrm{tg}^2\alpha} + 1} \implies m = \frac{F}{g\sqrt{\dfrac{1}{4\,\mathrm{tg}^2\alpha} + 1}} = \frac{7}{10\sqrt{\dfrac{1}{4\,\mathrm{tg}^2 30} + 1}} = 0{,}529 \text{ кг}$
Ответ: 0,529 кг.
Заключение
Статика учит, что равновесие тела определяется балансом сил и их моментов. Если равнодействующая сил равна нулю и выполняется правило моментов, тело остаётся неподвижным. Эти простые принципы помогают не только решать задачи, но и понимать работу окружающих нас механизмов.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
