Представь ситуацию: ты выводишь систему из равновесия — даёшь бруску лёгкий толчок, и он начинает свою вечную «челночную» пляску: туда-сюда, туда-сюда. Без трения этот танец никогда не остановится. Сейчас разберёмся, как записать его движение одной формулой, откуда берутся синус с косинусом и как всего за три задачи научиться щёлкать любые пружинные маятники на экзамене. Поехали.
Фазы колебаний: от толчка до возврата в равновесие
Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник, с положением равновесия $0$. Сила трения в системе отсутствует.
Выведем систему из состояния равновесия, придав бруску горизонтальную скорость, направленную вдоль оси $OX$:
В результате пружина растянется до максимального значения деформации, и скорость бруска станет равной нулю, так как он начнёт менять направление своего движения на противоположное:
Далее он вернётся в своё первоначальное положение (положение равновесия):
Затем пружина сожмётся до максимального значения деформации:
Далее брусок вернётся в своё первоначальное положение:
Таким образом, каждое последующее состояние системы происходит через четверть периода:
В данном случае уравнение координаты бруска будет иметь вид:
$x = x_0 \sin(\omega t)$
Однако, если бы система начинала колебания из крайнего правого положения, то уравнение координаты имело бы вид:
$x = x_0 \cos(\omega t)$
Рассмотрим пружинный маятник, у которого начальное положение бруска находится в точке с координатой $x$, а положению равновесия соответствует точка с $x = 0$. На брусок будет действовать сила упругости.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось $Ox$ и выполним преобразования:
$ma_x = -kx$
$ma_x + kx = 0$
$a_x + \frac{k}{m}x = 0$
Сопоставим полученную формулу с уравнением гармонических колебаний $a_x + \omega^2 x = 0$, получим:
$\omega^2 = \frac{k}{m} \implies \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
Формула циклической частоты:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
Выполним преобразования, подставив значение циклической частоты, и получим формулу периода колебаний пружинного маятника:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}$
Практикум: решение задач
Задание 1
Грузик массой 25 г, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, соединён с правым концом пружины, левый конец которой жёстко прикреплён к вертикальной стене. Если сместить грузик относительно положения равновесия, а затем отпустить, система из грузика с пружиной начнёт совершать гармонические колебания. Определите массу груза, который нужно прикрепить к этой же пружине вместо исходного грузика, чтобы частота колебаний рассматриваемой системы уменьшилась в 4 раза. Ответ дайте в граммах.
Запишем формулу периода:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Частота равна:
$\nu \downarrow = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m \uparrow}}$
Чтобы частота уменьшилась в 4 раза, необходимо, чтобы величина $\sqrt{\frac{k}{m}}$ уменьшилась в 4 раза. Значит дробь $\frac{k}{m}$ должна уменьшиться в 16 раз, поэтому масса должна увеличиться в 16 раз.
$m_2 = 16 m_1 = 16 \cdot 25 = 400 \text{ г}$
Ответ: 400 г.
Задание 2
Циклическая частота изменения кинетической энергии вертикального пружинного маятника равна $9 \text{ с}^{−1}$. Массу грузика, подвешенного к пружине маятника, увеличивают в 9 раз. Чему в таком случае будет равна циклическая частота колебаний маятника? Ответ дайте в $\text{с}^{−1}$.
Период энергии в два раза меньше периода колебаний:
$T_{\text{эн}} = \frac{1}{2}T$
Запишем формулу циклической частоты:
$\omega = \frac{2\pi}{T} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi}{\omega}$,
$\frac{2\pi}{\omega_{\text{эн}}} = \frac{1}{2}\frac{2\pi}{\omega}$
$\omega = \frac{1}{2}\omega_{\text{эн}} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \text{ с}^{-1}$
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
Если массу увеличить в 9 раз, то $\sqrt{\frac{k}{m}}$ уменьшится в 3 раза, значит и циклическая частота тоже уменьшится в 3 раза.
$\omega_2 = \frac{\omega}{3} = \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5 \text{ с}^{-1}$
Ответ: $1{,}5 \text{ с}^{-1}$.
Задание 3
К пружине жёсткостью 300 Н/м прикреплён брусок, который совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox$. На рисунке 1 представлена экспериментальная установка, где $0$ – положение равновесия бруска, $A$ и $B$ – положения его максимальных отклонений. На рисунке 2 представлен график зависимости проекции скорости бруска $v_x$ от времени $t$.
На основании предоставленной информации выберите из приведённых ниже утверждений верные и укажите в ответе их номера.
- Масса бруска равна 1 кг.
- В момент времени $t = 0$ брусок находился в положении $0$.
- В момент времени $t_1$ потенциальная энергия пружины меньше кинетической энергии бруска.
- В момент времени $t_2$ кинетическая энергия бруска минимальна.
- В момент времени $t_3$ потенциальная энергия пружины минимальна.
1) Период колебаний пружинного маятника:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}; \quad T^2 = 4\pi^2\frac{m}{k} \implies m = \frac{kT^2}{4\pi^2} = \frac{300 \cdot (0{,}1 \pi)^2}{4\pi^2} = 0{,}075 \text{ кг}$
— неверное утверждение.
2) В момент времени $t = 0$ скорость бруска равна нулю, значит, он находился в положении максимального отклонения — неверное утверждение.
3) По закону сохранения энергии: $\dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2} = \text{const}$. В момент времени $t_1$ скорость бруска была максимальна, значит, была максимальна его кинетическая энергия. В то же время потенциальная энергия пружины была минимальна, то есть меньше кинетической энергии бруска — верное утверждение.
4) В момент времени $t_2$ скорость бруска была минимальна, значит, была минимальна его кинетическая энергия — верное утверждение.
5) В момент времени $t_3$ скорость бруска была максимальна, значит, была максимальна его кинетическая энергия. В свою очередь, потенциальная энергия пружины в этот момент времени была минимальна — верное утверждение.
Ответ: 345.
Заключение
Теперь ты:
- Знаешь, как движется пружинный маятник: растяжение → равновесие → сжатие → равновесие, и что каждое состояние отстоит от предыдущего на четверть периода.
- Понимаешь, почему координата бруска описывается синусом или косинусом — в зависимости от того, с какого положения началось колебание.
- Выводишь формулу циклической частоты из второго закона Ньютона.
- Решаешь задачи на изменение частоты при увеличении массы, на связь циклической частоты колебаний и кинетической энергии, а также читаешь график скорости и определяешь, когда энергия минимальна или максимальна.
Тебе по плечу пружинные маятники любой сложности. Осталось только практиковаться.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
