Пружинный маятник: от уравнения движения до практических задач

Представь ситуацию: ты выводишь систему из равновесия — даёшь бруску лёгкий толчок, и он начинает свою вечную «челночную» пляску: туда-сюда, туда-сюда. Без трения этот танец никогда не остановится. Сейчас разберёмся, как записать его движение одной формулой, откуда берутся синус с косинусом и как всего за три задачи научиться щёлкать любые пружинные маятники на экзамене. Поехали. [i]

Фазы колебаний: от толчка до возврата в равновесие

Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник, с положением равновесия $0$. Сила трения в системе отсутствует. [i]

Выведем систему из состояния равновесия, придав бруску горизонтальную скорость, направленную вдоль оси $O X$ : [i]

В результате пружина растянется до максимального значения деформации, и скорость бруска станет равной нулю, так как он начнёт менять направление своего движения на противоположное: [i]

Далее он вернётся в своё первоначальное положение (положение равновесия): [i]

Затем пружина сожмётся до максимального значения деформации: [i]

Далее брусок вернётся в своё первоначальное положение: [i]

Таким образом, каждое последующее состояние системы происходит через четверть периода: [i]

В данном случае уравнение координаты бруска будет иметь вид: [i]

x = x_{0} \sin (ω t)

Однако, если бы система начинала колебания из крайнего правого положения, то уравнение координаты имело бы вид: [i]

x = x_{0} \cos (ω t)

Рассмотрим пружинный маятник, у которого начальное положение бруска находится в точке с координатой $x$ , а положению равновесия соответствует точка с $x = 0$ . На брусок будет действовать сила упругости. [i]

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось $O x$ и выполним преобразования: [i]

m a_{x} = - k x

m a_{x} + k x = 0

a_{x} + \frac{k}{m} x = 0

Сопоставим полученную формулу с уравнением гармонических колебаний $a_{x} + ω^{2} x = 0$ , получим: [i]

ω^{2} = \frac{k}{m} ⟹ ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

Формула циклической частоты: [i]

ω = \frac{2 π}{T}

Выполним преобразования, подставив значение циклической частоты, и получим формулу периода колебаний пружинного маятника: [i]

T = 2 π \sqrt{\frac{k}{m}}

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Практикум: решение задач

Задание 1
Грузик массой 25 г, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, соединён с правым концом пружины, левый конец которой жёстко прикреплён к вертикальной стене. Если сместить грузик относительно положения равновесия, а затем отпустить, система из грузика с пружиной начнёт совершать гармонические колебания. Определите массу груза, который нужно прикрепить к этой же пружине вместо исходного грузика, чтобы частота колебаний рассматриваемой системы уменьшилась в 4 раза. Ответ дайте в граммах. [i]

Запишем формулу периода:
$T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$
Частота равна:
$ν ↓ = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m ↑}}$
Чтобы частота уменьшилась в 4 раза, необходимо, чтобы величина $\sqrt{\frac{k}{m}}$ уменьшилась в 4 раза. Значит дробь $\frac{k}{m}$ должна уменьшиться в 16 раз, поэтому масса должна увеличиться в 16 раз.
$m_{2} = 16 m_{1} = 16 \cdot 25 = 400 г$
Ответ: 400 г. [i]

Задание 2
Циклическая частота изменения кинетической энергии вертикального пружинного маятника равна $9 с^{- 1}$ . Массу грузика, подвешенного к пружине маятника, увеличивают в 9 раз. Чему в таком случае будет равна циклическая частота колебаний маятника? Ответ дайте в $с^{- 1}$ . [i]

Период энергии в два раза меньше периода колебаний:
$T_{эн} = \frac{1}{2} T$
Запишем формулу циклической частоты:
$ω = \frac{2 π}{T} \Rightarrow T = \frac{2 π}{ω}$ ,
$\frac{2 π}{ω_{эн}} = \frac{1}{2} \frac{2 π}{ω}$
$ω = \frac{1}{2} ω_{эн} = \frac{9}{2} = 4, 5 с^{- 1}$
$T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{2 π \sqrt{\frac{m}{k}}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
Если массу увеличить в 9 раз, то $\sqrt{\frac{k}{m}}$ уменьшится в 3 раза, значит и циклическая частота тоже уменьшится в 3 раза.
$ω_{2} = \frac{ω}{3} = \frac{4, 5}{3} = 1, 5 с^{- 1}$
Ответ: $1, 5 с^{- 1}$ . [i]

Задание 3
К пружине жёсткостью 300 Н/м прикреплён брусок, который совершает гармонические колебания вдоль оси $O x$ . На рисунке 1 представлена экспериментальная установка, где $0$ – положение равновесия бруска, $A$ и $B$ – положения его максимальных отклонений. На рисунке 2 представлен график зависимости проекции скорости бруска $v_{x}$ от времени $t$ .
На основании предоставленной информации выберите из приведённых ниже утверждений верные и укажите в ответе их номера.
Масса бруска равна 1 кг.
В момент времени $t = 0$ брусок находился в положении $0$.
В момент времени $t_{1}$ потенциальная энергия пружины меньше кинетической энергии бруска.
В момент времени $t_{2}$ кинетическая энергия бруска минимальна.
В момент времени $t_{3}$ потенциальная энергия пружины минимальна.
[i]

1) Период колебаний пружинного маятника:
$T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}; T^{2} = 4 π^{2} \frac{m}{k} ⟹ m = \frac{k T^{2}}{4 π^{2}} = \frac{300 \cdot (0, 1 π)^{2}}{4 π^{2}} = 0, 075 кг$
— неверное утверждение.
2) В момент времени $t = 0$ скорость бруска равна нулю, значит, он находился в положении максимального отклонения — неверное утверждение.
3) По закону сохранения энергии: $\frac{k x^{2}}{2} + \frac{m v^{2}}{2} = const$ . В момент времени $t_{1}$ скорость бруска была максимальна, значит, была максимальна его кинетическая энергия. В то же время потенциальная энергия пружины была минимальна, то есть меньше кинетической энергии бруска — верное утверждение.
4) В момент времени $t_{2}$ скорость бруска была минимальна, значит, была минимальна его кинетическая энергия — верное утверждение.
5) В момент времени $t_{3}$ скорость бруска была максимальна, значит, была максимальна его кинетическая энергия. В свою очередь, потенциальная энергия пружины в этот момент времени была минимальна — верное утверждение.
Ответ: 345. [i]

Заключение

Теперь ты:
Знаешь, как движется пружинный маятник: растяжение → равновесие → сжатие → равновесие, и что каждое состояние отстоит от предыдущего на четверть периода.
Понимаешь, почему координата бруска описывается синусом или косинусом — в зависимости от того, с какого положения началось колебание.
Выводишь формулу циклической частоты из второго закона Ньютона.
Решаешь задачи на изменение частоты при увеличении массы, на связь циклической частоты колебаний и кинетической энергии, а также читаешь график скорости и определяешь, когда энергия минимальна или максимальна.
Тебе по плечу пружинные маятники любой сложности. Осталось только практиковаться. [i]