Представь, что ты раскачиваешь обычный грузик на нитке. Интуиция подсказывает: чем тяжелее груз, тем медленнее он будет качаться. А вот и нет — физика любит удивлять. Оказывается, период таких колебаний вообще не зависит от массы, зато легко считается через длину нити и ускорение свободного падения. Давай разберёмся, откуда это берётся, и заодно решим пару задачек.
От гармонических колебаний до графиков
Математический маятник представляет собой небольшой груз, подвешенный на длинной нити, совершающий гармонические колебания. Колебания можно считать гармоническими при малых значениях угла (<10°).
При малых значениях угла его косинус можно считать равным единице, а значение синуса равным значению тангенса и значению угла в радианах.
$\sin\alpha \approx \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha$
Учитывая, что колебания малые, груз незначительно сдвигается по вертикали. Можно считать, что при колебаниях груз движется по горизонтальной прямой. Расставим силы, действующие на груз:
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:
$T_\text{н}\cos\alpha - mg = 0 \quad\Rightarrow\quad T_\text{н} = \frac{mg}{\cos\alpha}$
$ma_x = -T_\text{н}\sin\alpha$
$ma_x = -\frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha$
Разделив обе части уравнения на массу $m$, получим:
$a_x + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\,g = 0$
$a_x + \operatorname{tg} \alpha\cdot g = 0$
Для малых углов тангенс примерно равен синусу, а согласно рисунку $\sin\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($x$) к гипотенузе ($l$):
$a_x + \frac{x}{l}\,g = 0$
Сопоставив полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний $a_x + \omega^2 x = 0$, получим:
$\omega^2 = \frac{g}{l} \quad\Rightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$
Подставим полученное значение циклической частоты:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
Заметим, что в формуле периода математического маятника отсутствует значение массы подвешенного груза, следовательно, период колебаний не зависит от массы.
Для математического маятника, находящегося в системе, в которой отсутствуют внешние силы, сумма потенциальной и кинетической энергий всегда постоянна:
$E_\text{к} + E_\text{п} - \text{const}$
На рисунке отмечены 3 положения математического маятника:
Запишем закон сохранения энергии:
$\dfrac{mv^2}{2} + mgy = mgh = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2}$
Где:
$E_{\text{п}\,\max} = mgh$
$E_{\text{к}\,\max} = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2}$
Если координата меняется по синусоидальному закону, а скорость — по косинусоидальному (то есть груз начнёт колебаться из состояния равновесия), то кинетическая энергия будет изменяться с течением времени согласно уравнению:
$E_\text{к} = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2}\cos^2(\omega t)$
Используя уравнения, построим графики зависимости кинетической и потенциальной энергии системы от времени:
Графики зависимости координаты $x$ и скорости от времени:
Следует отметить, что на осях времени отмечены периоды колебаний математического маятника. Однако если рассмотреть периоды колебаний кинетической и потенциальной энергий, то можно сделать вывод, что они в два раза меньше, чем период колебания маятника.
Понять, по какому из законов (синусоидальному или косинусоидальному) будет меняться координата, достаточно просто. Если движение начинается из положения равновесия с определённой начальной скоростью, нужно использовать синусоидальный закон. Если отклонить тело на некоторый угол, который будет меньше 10 градусов, и отпустить без начальной скорости, то координата будет подчиняться косинусоидальному закону.
Как и в случае с математическим маятником, для пружинного графики зависимости энергий, скорости и координаты будут иметь аналогичный вид. Однако потенциальная энергия системы будет отличаться. В случае с пружинным маятником будет использоваться потенциальная энергия пружины совместно с кинетической энергией груза:
$\dfrac{mv^2}{2} + mgh = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2} = \dfrac{kx_\text{м}^2}{2}$
Практикум: решение задач
Задание 1
Шарик, подвешенный на нити, совершает свободные незатухающие колебания. Известно, что потенциальная энергия шарика в положении 1 равна 22 Дж. Чему равна кинетическая энергия шарика в положении 2? Ответ выразите в джоулях.
В точке 1 потенциальная энергия принимает своё максимальное значение, равное максимальному значению кинетической энергии, которое достигается в точке 2.
$E_{\text{п}\,\max} = E_{\text{к}\,\max} = 22 \text{ Дж.}$
Ответ: 22 Дж.
Задание 2
Тело, подвешенное на нити, совершает гармонические колебания, период которых равен $T = 4$ с. Определите, спустя какое время после начала наблюдения кинетическая энергия тела в первый раз достигнет максимального значения. Координата тела меняется по косинусоидальному закону. Ответ дайте в секундах.
$x = x_0\cos(\omega t)$
При $t = 0$: $\quad x = x_0\cos 0 = x_0$
В начальный момент времени тело отклонено от положения равновесия.
Кинетическая энергия будет максимальна, когда скорость тела будет максимальна, а это произойдёт в момент времени $t = \dfrac{T}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$ с.
Задание 3
Частота колебаний математического маятника равна 0,5 Гц. Маятник отклонили от положения равновесия на небольшой угол и отпустили с нулевой начальной скоростью (см. рисунок). Выберите из приведённого ниже списка все верные утверждения и запишите в ответ их номера.
- Кинетические энергии маятника в моменты времени 1 с и 4 с равны.
- Кинетическая энергия маятника в первый раз достигла максимума через 2 с.
- Кинетическая энергия маятника во второй раз достигла максимума через 1,5 с.
- Полная механическая энергия маятника оставалась неизменной на протяжении всего опыта.
- Потенциальная энергия маятника оставалась неизменной на протяжении всего опыта.
- Кинетические энергии маятника в моменты времени 1 с и 4 с равны нулю — верное утверждение.
- Кинетическая энергия маятника в первый раз достигла максимума через 0,5 с — неверное утверждение.
- Кинетическая энергия маятника во второй раз достигла максимума через 1,5 с — верное утверждение.
- Для маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, с течением времени она не изменялась — верное утверждение.
- Потенциальная энергия маятника изменялась с течением времени — неверное утверждение.
Ответ: 134.
Заключение
Теперь ты знаешь, что период математического маятника зависит только от длины нити и ускорения свободного падения — и никак не связан с массой груза. А ещё ты умеешь выводить формулу периода через второй закон Ньютона, отличать синусоидальный закон движения от косинусоидального, а также строить и читать графики кинетической и потенциальной энергии. И самое главное — ты сможешь решать задачи на эту тему, даже не заглядывая в шпаргалку.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
