Математический маятник: гармонические колебания, период и закон сохранения энергии — Физика

Представь, что ты раскачиваешь обычный грузик на нитке. Интуиция подсказывает: чем тяжелее груз, тем медленнее он будет качаться. А вот и нет — физика любит удивлять. Оказывается, период таких колебаний вообще не зависит от массы, зато легко считается через длину нити и ускорение свободного падения. Давай разберёмся, откуда это берётся, и заодно решим пару задачек.

От гармонических колебаний до графиков

Математический маятник представляет собой небольшой груз, подвешенный на длинной нити, совершающий гармонические колебания. Колебания можно считать гармоническими при малых значениях угла (<10°).

При малых значениях угла его косинус можно считать равным единице, а значение синуса равным значению тангенса и значению угла в радианах.

\sin\alpha \approx \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha

Учитывая, что колебания малые, груз незначительно сдвигается по вертикали. Можно считать, что при колебаниях груз движется по горизонтальной прямой. Расставим силы, действующие на груз:

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

T_\text{н}\cos\alpha - mg = 0 \quad\Rightarrow\quad T_\text{н} = \frac{mg}{\cos\alpha}

ma_x = -T_\text{н}\sin\alpha

ma_x = -\frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha

Разделив обе части уравнения на массу $m$, получим:

a_x + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\,g = 0

a_x + \operatorname{tg} \alpha\cdot g = 0

Для малых углов тангенс примерно равен синусу, а согласно рисунку $\sin\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($x$) к гипотенузе ($l$):

a_x + \frac{x}{l}\,g = 0

Сопоставив полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний $a_x + \omega^2 x = 0$, получим:

\omega^2 = \frac{g}{l} \quad\Rightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}

Подставим полученное значение циклической частоты:

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Заметим, что в формуле периода математического маятника отсутствует значение массы подвешенного груза, следовательно, период колебаний не зависит от массы.
Для математического маятника, находящегося в системе, в которой отсутствуют внешние силы, сумма потенциальной и кинетической энергий всегда постоянна:

E_\text{к} + E_\text{п} - \text{const}

На рисунке отмечены 3 положения математического маятника:

Запишем закон сохранения энергии:

\dfrac{mv^2}{2} + mgy = mgh = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2}

Где:

E_{\text{п}\,\max} = mgh

E_{\text{к}\,\max} = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2}

Если координата меняется по синусоидальному закону, а скорость — по косинусоидальному (то есть груз начнёт колебаться из состояния равновесия), то кинетическая энергия будет изменяться с течением времени согласно уравнению:

E_\text{к} = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2}\cos^2(\omega t)

Используя уравнения, построим графики зависимости кинетической и потенциальной энергии системы от времени:

Графики зависимости координаты $x$ и скорости от времени:

Следует отметить, что на осях времени отмечены периоды колебаний математического маятника. Однако если рассмотреть периоды колебаний кинетической и потенциальной энергий, то можно сделать вывод, что они в два раза меньше, чем период колебания маятника.
Понять, по какому из законов (синусоидальному или косинусоидальному) будет меняться координата, достаточно просто. Если движение начинается из положения равновесия с определённой начальной скоростью, нужно использовать синусоидальный закон. Если отклонить тело на некоторый угол, который будет меньше 10 градусов, и отпустить без начальной скорости, то координата будет подчиняться косинусоидальному закону.
Как и в случае с математическим маятником, для пружинного графики зависимости энергий, скорости и координаты будут иметь аналогичный вид. Однако потенциальная энергия системы будет отличаться. В случае с пружинным маятником будет использоваться потенциальная энергия пружины совместно с кинетической энергией груза:

\dfrac{mv^2}{2} + mgh = \dfrac{mv_\text{м}^2}{2} = \dfrac{kx_\text{м}^2}{2}

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Практикум: решение задач

Задание 1
Шарик, подвешенный на нити, совершает свободные незатухающие колебания. Известно, что потенциальная энергия шарика в положении 1 равна 22 Дж. Чему равна кинетическая энергия шарика в положении 2? Ответ выразите в джоулях.

В точке 1 потенциальная энергия принимает своё максимальное значение, равное максимальному значению кинетической энергии, которое достигается в точке 2.
$E_{\text{п}\,\max} = E_{\text{к}\,\max} = 22 \text{ Дж.}$
Ответ: 22 Дж.

Задание 2
Тело, подвешенное на нити, совершает гармонические колебания, период которых равен $T = 4$ с. Определите, спустя какое время после начала наблюдения кинетическая энергия тела в первый раз достигнет максимального значения. Координата тела меняется по косинусоидальному закону. Ответ дайте в секундах.

$x = x_0\cos(\omega t)$
При $t = 0$: $\quad x = x_0\cos 0 = x_0$
В начальный момент времени тело отклонено от положения равновесия.
Кинетическая энергия будет максимальна, когда скорость тела будет максимальна, а это произойдёт в момент времени $t = \dfrac{T}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$ с.

Задание 3
Частота колебаний математического маятника равна 0,5 Гц. Маятник отклонили от положения равновесия на небольшой угол и отпустили с нулевой начальной скоростью (см. рисунок). Выберите из приведённого ниже списка все верные утверждения и запишите в ответ их номера.
Кинетические энергии маятника в моменты времени 1 с и 4 с равны.
Кинетическая энергия маятника в первый раз достигла максимума через 2 с.
Кинетическая энергия маятника во второй раз достигла максимума через 1,5 с.
Полная механическая энергия маятника оставалась неизменной на протяжении всего опыта.
Потенциальная энергия маятника оставалась неизменной на протяжении всего опыта.

Кинетические энергии маятника в моменты времени 1 с и 4 с равны нулю — верное утверждение.
Кинетическая энергия маятника в первый раз достигла максимума через 0,5 с — неверное утверждение.
Кинетическая энергия маятника во второй раз достигла максимума через 1,5 с — верное утверждение.
Для маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, с течением времени она не изменялась — верное утверждение.
Потенциальная энергия маятника изменялась с течением времени — неверное утверждение.
Ответ: 134.

Заключение

Теперь ты знаешь, что период математического маятника зависит только от длины нити и ускорения свободного падения — и никак не связан с массой груза. А ещё ты умеешь выводить формулу периода через второй закон Ньютона, отличать синусоидальный закон движения от косинусоидального, а также строить и читать графики кинетической и потенциальной энергии. И самое главное — ты сможешь решать задачи на эту тему, даже не заглядывая в шпаргалку.