Векторы широко используются в математике и прикладных дисциплинах для описания величин с направлением. В этой статье разберём основные характеристики вектора, способы нахождения его проекций на координатные оси и базовые операции с векторами.
Нахождение проекций вектора
Вектор — это отрезок, который имеет направление. Его характеризуют длина (модуль вектора) и направление.
Нарисуем вектор в осях OXY и найдём его проекции.
Проекция вектора на ось — это тоже вектор, началом которого является точка, куда падает перпендикуляр к оси из начала исходного вектора, а концом соответственно точка падения конца перпендикуляра на ось.
Если направление оси и геометрической проекции совпадают, то проекцию на ось записываем со знаком «плюс». Если же они являются разнонаправленными, то со знаком «минус».
Проекции вектора $\vec{a}$ на оси OX и OY положительны, так как направление вектора совпадает с направлением обеих осей.
На рисунке видно, что $\vec{a}$, $a_x$ и $a_y$ являются сторонами прямоугольного треугольника, где $\vec{a}$ — гипотенуза, а $a_x$ и $a_y$ — катеты. Таким образом, модуль вектора $|\vec{a}|$ можно найти из теоремы Пифагора:
Теперь нарисуем вектор $\vec{a}$ в осях XYZ:
Таким образом, в трёхмерной системе координат модуль вектора $|\vec{a}|$ можно найти по следующей формуле:
Если вектор и ось параллельны, то модуль проекции совпадает с модулем исходного вектора, а если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на ось равна нулю.
При проецировании вектора на оси часто используют тригонометрические функции. Существует четыре функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Вспомним их определения:
Здесь:
$a$ — противолежащий катет;
$b$ — прилежащий катет;
$c$ — гипотенуза.
Основное тригонометрическое тождество:
Применим тригонометрию на практике. Для этого введём угол $\alpha$ на рисунке. В нашем случае это будет угол между вектором и горизонтальной прямой, которая проходит через начало вектора $\vec{a}$:
Таким образом:
Аналогично на вертикальную ось:
Для закрепления материала найдём проекции вектора $\vec{c}$ на оси OX и OY:
Формулы для нахождения проекций будут выглядеть следующим образом:
Сложение векторов
Два вектора можно сложить двумя методами: по правилу треугольника и правилу параллелограмма.
- Правило треугольника:
- Правило параллелограмма:
Вычитание векторов
Вычесть из вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$ — это всё равно что прибавить к вектору $\vec{a}$ перевёрнутый вектор $\vec{b}$ (то есть вектор $-\vec{b}$).
