Когда тело не вращается, несмотря на действие нескольких сил, это не случайность, а результат строгого физического закона. Правило моментов сил позволяет точно определить, в каком случае система находится в равновесии и как силы уравновешивают друг друга.
Момент силы
Формула:
Правило моментов сил
Рассмотрим тело, которое может вращаться вокруг точки $O$. Пусть к нему приложены четыре силы, как показано на рисунке:
Момент каждой силы относительно точки $O$ определяется по формулам:
При этом силы $F_2$ и $F_4$ вызывают вращение против часовой стрелки, а силы $F_1$ и $F_3$ — по часовой стрелке.
Знак момента определяется направлением вращения: если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, её момент считается положительным, если по часовой — отрицательным. Тогда:
В этом случае правило моментов записывается так:
Существует и другая форма записи: моменты, вращающие тело против часовой стрелки, приравниваются к моментам, вращающим его по часовой стрелке. При этом все моменты берутся по модулю:
Условия равновесия тела
В инерциальной системе отсчёта тело находится в равновесии при выполнении двух условий:
- Сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю, поэтому тело не совершает поступательного движения.
- Сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки. В этом случае отсутствует вращательное движение.
В кодификаторе эти условия равновесия записываются в виде системы уравнений:
Задание 1
Груз массой 180 кг удерживают с помощью рычага, приложив к его концу вертикально направленную силу 400 Н (см. рисунок). Рычаг состоит из шарнира без трения и однородного стержня длиной 2,6 м и массой 40 кг. Чему равно расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза?
Дано:
$M = 180$ кг
$F = 400$ Н
$L = 2{,}6$ м
$m = 40$ кг
$b = ?$
Запишем правило моментов относительно оси, проходящей через точку $O$:
$mg\!\left(\frac{L}{2} − b\right) + F(L − b) = Mgb$
$mg\frac{L}{2} − mgb + FL − Fb = Mgb$
$mg\frac{L}{2} + FL = b(Mg + mg + F)$
$b = \frac{mg\dfrac{L}{2} + FL}{Mg + mg + F} = \frac{L\!\left(\dfrac{mg}{2} + F\right)}{Mg + mg + F} = \frac{2{,}6\!\left(\dfrac{40 \cdot 10}{2} + 400\right)}{180 \cdot 10 + 40 \cdot 10 + 400} = 0{,}6 \text{ м}$
Ответ: 0,6 м.
Задание 2
За край горизонтальной поверхности на одну шестую часть выдвинута деревянная доска длиной $l = 1{,}8$ м. Она остаётся в состоянии покоя, если на её правом конце лежит груз массой не более 250 г (см. рисунок). При каком максимальном значении длины выдвинутой части доска с грузом массой 100 г на конце сохранит равновесие?
Дано:
$l = 1{,}8$ м
$m_1 = 0{,}25$ кг
$m_2 = 0{,}1$ кг
$l_2 = ?$
$x_1 = \frac{l}{2} − \frac{l}{6} = \frac{3l − l}{6} = \frac{1}{3}l$
Запишем правило моментов в обоих случаях относительно оси, перпендикулярной рисунку и проходящей через точку $O$:
$Mgx_1 = m_1 g \frac{l}{6}$
$Mg \cdot \frac{1}{3}l = m_1 g \frac{l}{6} \implies M = \frac{m_1}{2} = \frac{0{,}25}{2} = 0{,}125 \text{ кг}$
$Mg\!\left(\frac{l}{2} − l_2\right) = m_2 g l_2$
$\frac{Mgl}{2} − Mgl_2 = m_2 g l_2 \implies l_2(m_2 + M) = \frac{Ml}{2}$
$l_2 = \frac{Ml}{2(m_2 + M)} = \frac{0{,}125 \cdot 1{,}8}{2(0{,}1 + 0{,}125)} = 0{,}5 \text{ м}$
Ответ: 0,5 м.
Задание 3
Однородный стержень $AB$ массой $m = 400$ г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом $B$ и опираясь на край банки в точке $C$ (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке $C$, равен 5 Н. Чему равен модуль горизонтальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке $B$, если модуль вертикальной составляющей этой силы равен 1 Н? Трением пренебречь.
Дано:
$m = 0{,}4$ кг
$F_c = 5$ Н
$F_{BY} = 1$ Н
$F_{BX} = \text{ } ?$
По третьему закону Ньютона:
$\left| \overline{N}_c \right| = \left| \overline{F}_c \right|$
$\left| \overline{N}_{BY} \right| = \left| \overline{F}_{BY} \right|$
$\left| \overline{N}_{BX} \right| = \left| \overline{F}_{BX} \right|$
Запишем второй закон Ньютона:
$Ox: N_{CX} − N_{BX} = 0 \implies N_{CX} = N_{BX} \quad (1)$
$Oy: N_{CY} − mg = N_{BY} \implies N_{CY} = mg − N_{BY} \quad (2)$
По теореме Пифагора:
$N_C^2 = N_{CX}^2 + N_{CY}^2 \tag{3} \quad (3)$
Подставим (1) и (2) в (3):
$N_C^2 = N_{BX}^2 + (mg − N_{BY})^2$
$5^2 = N_{BX}^2 + (0{,}4 \cdot 10 − 1)^2$
$5^2 = N_{BX}^2 + 3^2 \implies N_{BX} = 4 \text{ Н, так как } N_{BX} \text{ направлена влево.}$
$\left| \overline{F}_{BX} \right| = \left| \overline{N}_{BX} \right| = 4$ Н
Ответ: 4 Н.
Заключение
Правило моментов сил — это универсальный инструмент механики, который объясняет равновесие тел и помогает решать практические задачи. Освоив его, можно легко анализировать любые системы, где присутствует вращение.
