Гидростатическое давление — Физика

Почему вода давит на дно сосуда и от чего зависит это давление? В этой статье разберём природу гидростатического давления, выведем основные формулы и узнаем, как высота столба жидкости и её плотность влияют на силу давления.

Формула гидростатического давления

Рассмотрим сосуд, наполненный водой. Высота столба жидкости — $h$ , площадь дна сосуда — $S$ . На поверхность воды давит атмосферное давление $p_{0}$ .

На поверхность воды давит атмосферное давление

Сначала найдём массу жидкости в сосуде:

m = в Vв = в S h

Давление на дно складывается из атмосферного давления и давления самой жидкости:

p_{дно} = p_{0} + p_{жидк}

Давление жидкости найдём по формуле:

p_{жидк} = \frac{m g}{S} = \frac{ρ_{в} V_{в} g}{S} = ρ_{в} g h

Подставим полученную формулу давления жидкости в формулу давления на дно сосуда:

p_{дно} = p_{0} + ρ_{в} g h

Давление столба жидкости называется гидростатическим. Оно зависит только от плотности жидкости, ускорения свободного падения и высоты столба жидкости:

p_{гидростат} = ρ_{ж} g h

Опыт Паскаля

Чтобы показать силу гидростатического давления, Паскаль провёл простой, но впечатляющий опыт. Он взял деревянную бочку, полностью заполненную водой, и вставил в неё сверху длинную узкую трубку. Затем он налил в трубку всего один стакан воды. Несмотря на маленький объём, вода в высокой трубке создала большое давление. В результате бочка не выдержала и треснула.

Этот опыт наглядно показывает: важен не объём жидкости, а высота её столба. К примеру, столб пресной воды высотой 10 метров создаёт давление, близкое к нормальному атмосферному — примерно $10^{5}$ Па.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Задание 1

Ёмкость цилиндрической формы высотой 15 см с площадью дна 20 см² заполняют подсолнечным маслом так, что уровень жидкости находится на 3 см ниже края ёмкости. Чему равна сила давления жидкости на дно ёмкости? Ответ выразите в ньютонах.

Дано:
$d = 3$ см
$H = 15$ см
$S = 20$ см²
$F = ?$

$h = H - d = 15 - 3 = 12 см$
Плотность масла можно найти в справочных материалах, она равна 900 кг/м³.
$1 см = \frac{1}{100} м = 10^{- 2} м$
$1 {см}^{2} = 10^{- 4} м^{2}$
Сила давления равна:
$F = m g = ρ_{ж} V g = ρ_{ж} S h g = 900 \cdot 20 \cdot 10^{- 4} \cdot (0, 15 - 0, 03) \cdot 10 = 2, 16 Н$
Ответ: 2,16 Н.

Задание 2

На рисунке представлены графики зависимости давления $p$ от глубины погружения $h$ при постоянной температуре для двух покоящихся жидкостей: воды и подсолнечного масла. Выберите все верные утверждения, которые согласуются с приведёнными графиками.
В воде на глубине 10 м давление по сравнению с нормальным атмосферным возрастает вдвое.
По мере подъёма на поверхность из подсолнечного масла его гидростатическое давление падает до величины нормального атмосферного давления.
Плотность спирта 0,79 г/см³, график аналогичной зависимости давления от глубины погружения для спирта окажется между зависимостью для подсолнечного масла и осью абсцисс.
С увеличением глубины погружения давление в воде возрастает медленнее, чем в подсолнечном масле.
Плотность хлороформа 1,49 г/см³, график аналогичной зависимости давления от глубины погружения для хлороформа окажется между зависимостью для воды и осью ординат.

Да, это видно из графика — верно.
Гидростатическое давление подсолнечного масла: $p_{гидр м} = ρ_{м} g h$ . По мере подъёма на поверхность уменьшается до нуля — неверно.
Давление спирта на глубине 50 м:
$p_{спирт} = p_{0} + ρ_{спирт} g h = 10^{5} + 790 \cdot 10 \cdot 50 = 495$ кПа.График зависимости давления спирта от глубины погружения окажется между зависимостью для подсолнечного масла и осью абсцисс — верно.
Из графика следует обратное: с увеличением глубины давление в воде возрастает быстрее, чем в подсолнечном масле, — неверно.
Давление хлороформа на глубине 50 м:
$p_{хл} = p_{0} + ρ_{хл} g h = 10^{5} + 1490 \cdot 10 \cdot 50 = 845$ кПа.
График аналогичной зависимости давления от глубины погружения для хлороформа окажется между зависимостью для воды и осью ординат — верно.

Ответ: 135.

Задание 3

Два одинаковых вертикальных сообщающихся цилиндрических сосуда заполнены водой и закрыты поршнями массами $M_{1} = 16$ кг и $M_{2} = 8$ кг. В состоянии равновесия правый поршень с площадью основания 400 см² расположен выше левого на $h = 20$ см. Из приведённого ниже списка утверждений выберите все верные.
Если на правый поршень поместить груз массой $m = 4$ кг, поршни будут находиться на одном уровне.
Если на правый поршень поместить груз массой $m = 2$ кг, разность уровней между левым и правым поршнями составит 13 см.
Если на правый поршень поместить груз массой $m = 1$ кг, разность уровней между левым и правым поршнями составит 17,5 см.
Если в сосуды вместо воды налить керосин, расстояние по вертикали между поршнями в состоянии равновесия увеличится.
Взаимное расположение поршней при заданных массах зависит от плотности жидкости, в которой они находятся.

Для сообщающихся сосудов выполняется равенство давлений на одном уровне с обеих сторон:
$ρ g H + \frac{M_{1} g}{S} + p_{0} = \frac{M_{2} g}{S} + p_{0} + ρ g H + ρ g h$
$\frac{M_{1} g}{S} = \frac{M_{2} g}{S} + ρ g h$
1) Если поместить на правый поршень груз массой 4 кг, общая масса поршня с грузом составит 12 кг, что будет меньше массы первого поршня. Следовательно, поршни будут находиться на разных уровнях — неверно.
2) $\frac{M_{1} g}{S} = \frac{M_{2}' g}{S} + ρ g h ’$ , где $M_{2}' = M_{2} + m$
$ρ g h ’ = \frac{M_{1} g}{S} - \frac{M_{2}' g}{S}$
$h ’ = \frac{1}{ρ g} \cdot \frac{g}{S} (M_{1} - M_{2} ’) = \frac{1}{ρ S} (M_{1} - (M_{2} + m)) = \frac{1}{1000 \cdot 400 \cdot 10^{- 4}} (16 - (8 + 2)) = 15 см$
Следовательно, утверждение неверно.
3) $h ’ = \frac{1}{1000 \cdot 400 \cdot 10^{- 4}} (16 - (8 + 1)) = 17, 5$ см — верно.
4) $\frac{M_{1} g}{S} = \frac{M_{2} g}{S} + ↓ ρ g h ↑$
Если заменить воду на керосин, плотность жидкости уменьшится, что приведёт к увеличению расстояния по вертикали между поршнями в состоянии равновесия — верно.
5) $\frac{M_{1} g}{S} = \frac{M_{2} g}{S} + ρ g h$
Взаимное расположение поршней (расстояние по вертикали между ними) зависит от плотности жидкости, в которой они находятся, — верно.
Ответ: 345.

Заключение

Гидростатическое давление — одно из базовых проявлений законов природы, с которым мы сталкиваемся повсюду: от стакана воды до океанских глубин. Оно определяется всего тремя величинами: плотностью жидкости, высотой её столба и ускорением свободного падения и не зависит ни от формы сосуда, ни от объёма жидкости. Это простое явление объясняет как повседневные наблюдения, так и работу сложных инженерных систем.