Основные газовые законы

11 класс

Например, задача № 16 по математике

Главная
100балльный учебник
Основные газовые законы

300k учеников уже поступили в вуз мечты вместе с нами — теперь твоя очередь!

Законы, которые описывают поведение газов, лежат в основе молекулярно-кинетической теории и термодинамики. На ЕГЭ по физике примерно четверть заданий связана с этой темой, и большинство расчётных задач решается с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона и газовых законов.
В этой статье ты найдёшь ключевые формулы, которые нужно знать для успешной сдачи экзамена: основное уравнение МКТ, закон Авогадро, уравнение Менделеева — Клапейрона и закон Дальтона для смесей газов. Освоив этот материал, ты сможешь уверенно решать типовые задачи ЕГЭ — как на изменение состояния газа, так и на смеси газов.

Основное уравнение МКТ

Основное уравнение МКТ выглядит следующим образом:

$p = \frac{1}{3} m_0 n v^2,$

где $p$ — давление газа, которое измеряется в паскалях (Па).

Закон Авогадро

Воспользовавшись формулой кинетической энергии, подставим в основное уравнение МКТ $2E_к$ вместо $m_0 v^2$ и получим:

$p = \frac{2}{3} n E_к$

Подставим формулу кинетической энергии молекулы $E_к = \frac{3}{2} kT$ и выразим давление газа:

$p = nkT$

Полученная формула называется законом Авогадро.

Забирай курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ с жирной скидкой

Уравнение Менделеева — Клапейрона

Подставив формулу концентрации в закон Авогадро, получим:

$p = \frac{N}{V} kT$

Представим $N$ как произведение числа Авогадро на количество вещества:

$p = \frac{N_А \cdot \nu}{V} kT$

Домножим обе части уравнения на объём газа:

$pV = N_А \nu kT$

Для произведения постоянной Больцмана на число Авогадро введена собственная константа — универсальная газовая постоянная. Она обозначается буквой $R$ и равна $8{,}31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$. Подставим её в полученную формулу:

$pV = \nu RT$

Таким образом, мы вывели уравнение Менделеева — Клапейрона, которое используется в большей части газовых задач на ЕГЭ по физике.
Представим количество вещества как отношение массы к молярной массе и поделим уравнение Менделеева — Клапейрона на объём:

$p = \frac{m}{MV} RT$

Выполним преобразования, используя формулу плотности $\rho = \frac{m}{V}$, и получим формулу:

$p = \frac{\rho RT}{M}$

Закон Дальтона

Рассмотрим сосуд, в котором находится смесь двух газов. Каждый из газов оказывает давление на стенки сосуда. Молекулы газа 1 обозначены чёрными точками, газа 2 — зелёными. Рассмотрим одну стенку и обозначим давления каждого из газов.

Давление отдельно взятого газа в смеси газов называется парциальным давлением. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений:

$p = p_1 + p_2 + \ldots + p_n$

Например, давление воздуха в комнате равняется атмосферному давлению, которое обычно равно $10^5$ Па. Воздух, в свою очередь, состоит на 78% из азота, на 21% из кислорода, на 0,9% из аргона, доля остальных газов меньше 0,1%.

Практикум

Задание 1
В лаборатории проводят опыт с аргоном, который находится в сосуде под поршнем. Во сколько раз увеличивается средняя кинетическая энергия теплового движения молекул аргона при возрастании внешнего давления на поршень в 6 раз и увеличении концентрации газа в сосуде в 5 раз? В обоих случаях поршень покоится.

Решение:

Запишем формулу давления.
Было: $p = \frac{2}{3} n E_1$ (1)
Стало: $6p = \frac{2}{3} \cdot 5n \cdot E_2$ (2)
Подставим (1) в (2):
$6 \cdot \frac{2}{3} n E_1 = \frac{2}{3} \cdot 5n \cdot E_2$
$E_2 = \frac{6}{5} E_1 = 1{,}2 \cdot E_1$
Ответ: 1,2.

Задание 2
Неон находится в сосуде под давлением 300 кПа. На сколько уменьшается давление неона на стенки сосуда при уменьшении концентрации газа в 4 раза и увеличении средней кинетической энергии теплового движения его молекул в 3 раза? Ответ выразите в кПа.

Решение:

$p_1 = \frac{2}{3} n E \quad (1)$
$p_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{n}{4} \cdot 3E$
Из формулы (1) мы понимаем, что $\frac{2}{3} n E = p_1$, значит:
$p_2 = \frac{3}{4} p_1 = \frac{3}{4} \cdot 300 = 225 \text{ кПа}$
$p_1 — p_2 = 300 — 225 = 75 \text{ кПа}$
Ответ: 75 кПа.

Задание 3
Гелий охлаждают от $t_1 = 207,℃$ до $t_2 = 27,℃$. Во сколько раз при этом уменьшается средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул?

Решение:

Запишем формулу кинетической энергии молекул газа:
$E = \frac{3}{2} kT$
Переведём градусы Цельсия в Кельвины:
$T_1 = 480$ К и $T_2 = 300$ К
Отношение энергий равно:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{3}{2} k T_1}{\frac{3}{2} k T_2} = \frac{480}{300} = 1{,}6$
Ответ: 1,6.

Задание 4
Плотность идеального газа увеличивают в 15,21 раза при постоянном давлении. Во сколько раз при этом уменьшается среднеквадратичная скорость движения молекул газа?

Решение:

$p = \frac{2}{3} n E \quad (1)$
$n = \frac{N}{V}$
Плотность равна:
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{m_0 N}{V} = m_0 n$ (общая масса молекул равна массе одной молекулы $m_0$, умноженной на количество молекул $N$)
$\rho = m_0 n \implies n = \frac{\rho}{m_0} \quad (2)$
Подставим (2) в (1):
$p = \frac{2}{3} \cdot \frac{\rho}{m_0} \cdot E_2$
Во втором случае:
$p = \frac{2}{3} \cdot \frac{15{,}21\rho}{m_0} \cdot E_2$
$E_1 = 15{,}21 \cdot E_2$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{m v_1^2}{2}}{\frac{m v_2^2}{2}} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = 15{,}21 \implies \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{15{,}21} = 3{,}9$
Ответ: 3,9.

Задание 5
В закрытом сосуде в состоянии термодинамического равновесия находится гремучий газ (смесь водорода и кислорода). Чему равно отношение среднеквадратичной скорости теплового движения молекул водорода к среднеквадратичной скорости теплового движения молекул кислорода?

Решение:

По условию газы находятся в термодинамическом равновесии — значит, $T_1 = T_2 = T$.
$E = \frac{3}{2} kT$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{3}{2} kT}{\frac{3}{2} kT} = \frac{\frac{m_в v_в^2}{2}}{\frac{m_к v_к^2}{2}} = \frac{v_в^2}{v_к^2} \cdot \frac{m_в}{m_к} = 1 \Rightarrow \left(\frac{v_в}{v_к}\right)^2 = \frac{m_к}{m_в} = \frac{\frac{M_к}{N_A}}{\frac{M_в}{N_A}} = \frac{M_к}{M_в} = \frac{32}{2} = 16$
$\frac{v_в}{v_к} = \sqrt{16} = 4$
Ответ: 4.

Задание 6
На рисунке представлены графики зависимости давления двух идеальных газов от их концентрации при постоянных температурах.

графики зависимости давления двух идеальных газов от их концентрации при постоянных температурах — Графики зависимости давления двух идеальных газов от их концентрации при постоянных температурах

Во сколько раз температура газа 2 меньше температуры газа 1?

Решение:

$p = nkT$
Возьмём на графике прямую, на которой концентрация постоянна.
$6p_0 = nkT_1$
$4p_0 = nkT_2$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{4} = 1{,}5$
Ответ: 1,5.

Задание 7
Идеальный газ, плотность которого равна 2 кг/м³, находится в закрытом сосуде. Давление, оказываемое газом на стенки сосуда, равно 135 кПа. Чему при этом равна среднеквадратичная скорость теплового движения молекул газа? Ответ выразите в м/с.

Решение:

$p = \frac{1}{3} m_0 n v^2$
$n = \frac{N}{V}$, домножим всё на $m_0$:
$m_0 n = \frac{N m_0}{V} = \frac{m}{V} = \rho$
$p = \frac{1}{3} \rho v^2 \implies v = \sqrt{\frac{3p}{\rho}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 135 \cdot 10^3}{2}} = 450 \text{ м/с}$
Ответ: 450 м/с.

Задание 8
Среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул аргона, находящегося в сосуде, уменьшают в 3 раза путём его охлаждения на 700 К. Определите начальную температуру аргона. Ответ выразите в К.

Решение:

Из условия: $E \downarrow_{\text{в } 3}$ ; $T \downarrow_{\text{на 700К}}$ .
$E \downarrow_{\text{в } 3} = \frac{3}{2} k T\downarrow_{\text{в } 3}$
$T_1 = 3 T_2$
$T_1 — T_2 = 700$
$T_1 — \frac{T_1}{3} = 700 \implies \frac{2}{3} T_1 = 700 \implies T_1 = 1050 \text{ К}$
Ответ: 1050 К.

Заключение

Мы разобрали основные формулы по теме газов: уравнение МКТ, закон Авогадро, уравнение Менделеева — Клапейрона, закон Дальтона и связь давления с плотностью. Теперь ты умеешь находить параметры газа, работать с изменениями его состояния и решать задачи на смеси. Большинство заданий ЕГЭ по этой теме сводится именно к этим навыкам. Остаётся закрепить материал на практике — и подобные задачи перестанут вызывать сложности.