Изопроцессы

Изопроцессы — одна из ключевых тем раздела «Молекулярная физика и термодинамика» в ЕГЭ по физике. Задания по ней встречаются как в первой части (теория и анализ графиков), так и во второй (расчётные задачи). Без понимания того, как связаны давление, объём и температура газа в разных условиях, справиться с ними сложно.
В этой статье рассмотрим три основных изопроцесса: изотермический, изобарный и изохорный. Для каждого из них приведены графики в координатах $p (V)$ , $V (T)$ и $p (T)$ и уравнения, связывающие параметры газа в разных состояниях. В конце выполним задания из реальных экзаменов, включая задачи на анализ таблиц и графиков. [i]

Что такое изопроцессы

Приставка изо- в физике подразумевает, что какая-то величина остаётся постоянной.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона: [i]

p V = ν R T

В нём четыре переменные могут изменять своё значение — это давление $p$ , объём $V$ , количество вещества $ν$ и абсолютная температура $T$ . Однако во всех изопроцессах мы рассматриваем случаи, в которых количество вещества $ν$ всегда неизменно: [i]

ν = const

В зависимости от того, какая величина, помимо количества вещества, остаётся постоянной, выделяют три процесса:
Изотермический ( $T$ , $ν$ — const).
Изобарический ( $p$ , $ν$ — const).
Изохорический ( $V$ , $ν$ — const).
[i]

Изотермический процесс

Изотермический процесс — процесс, который протекает при постоянной температуре и с постоянным количеством вещества газа. [i]

T, ν - const

В изотермическом процессе вся правая часть уравнения Менделеева — Клапейрона будет постоянна: [i]

p V = ν R T - const

Обозначим const как некоторый коэффициент $c$ : [i]

c = ν R T - const

Следовательно, в изотермическом процессе при неизменной абсолютной температуре и постоянном количестве вещества изменяются давление и объём.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона при изотермическом процессе с некоторой константой $c$ и выразим через него давление $p$ : [i]

p V = c

p = \frac{c}{V}

График такой зависимости в координатах $p (V)$ — это гипербола. Построим его: [i]

График уравнения Менделеева — Клапейрона при изотермическом процессе с некоторой константой c — График уравнения Менделеева — Клапейрона при изотермическом процессе с некоторой константой С.

Если увеличить значение коэффициента $c$ , увеличив абсолютную температуру, при которой происходит изотермический процесс, то график зависимости $p$ от $V$ будет находиться выше: [i]

Следовательно, чем выше график изотермы, тем большей абсолютной температуре он соответствует.
Учитывая, что $p V — const$ , можно записать уравнение, которое отражает закон Бойля — Мариотта: [i]

p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}

Построим графики зависимости давления и объёма от температуры при изотермическом процессе: [i]

Графики зависимости давления и объёма от температуры при изотермическом процессе.

p>Значение давления и объёма не могут равняться нулю, так как при таких значениях вещество будет отсутствовать, а при отсутствии вещества нельзя определить его температуру. Поэтому графики зависимости начинаются не от оси, а на некотором расстоянии от неё. [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Изобарный процесс

Изобарный (изобарический) процесс — процесс, который протекает при постоянном давлении и с постоянным количеством вещества газа.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона и выразим объём: [i]

V = \frac{ν R}{p} \cdot T

Обозначим за некоторую константу $c$ выражение $\frac{ν R}{p}$ : [i]

V = c T

Если присутствуют две изобары, давления которых отличаются, то чем выше давление, тем меньше значение константы: [i]

p_{1} = 1 атм

p_{2} = 2 атм

c_{1} > c_{2}

В этом примере мы использовали единицы измерения, которые называются атмосферами (атм): 1 атмосфера равна $10^{5}$ Па.
Построим графики зависимости давления от температуры и от объёма: [i]

Графики зависимости давления от температуры и от объёма.

Построим график зависимости объёма от температуры: [i]

График зависимости объёма от температуры

Учитывая, что $\frac{V}{T} = const$ , можно записать уравнение, которое отражает закон Гей — Люссака: [i]

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}

Изохорный процесс

Изохорный (изохорический) процесс — процесс, который протекает при постоянном объёме и с постоянным количеством вещества газа.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона и выразим давление: [i]

p = \frac{ν R}{V} \cdot T

Обозначим за некоторую константу выражение $\frac{ν R}{V}$ : [i]

\frac{ν R}{V} = c - const

p = c \cdot T

Если присутствуют две изохоры, объёмы на которых отличаются, то чем выше объём, тем меньше значение константы: [i]

V_{1} = 1 м^{3}

V_{2} = 2 м^{3}

c_{1} > c_{2}

Построим графики зависимости объёма от температуры и давления от объёма: [i]

Графики зависимости объёма от температуры и давления от объёма.

Построим график зависимости давления от температуры: [i]

График зависимости давления от температуры.

Учитывая, что $\frac{p}{T} = const$ , можно записать уравнение, которое отражает закон Шарля: [i]

\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}

Миллиметры ртутного столба

В повседневной жизни давление часто измеряется в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.), однако в СИ единицами измерения давления являются паскали (Па). Установим связь между мм рт. ст. и Па.
Чтобы найти давление столба ртути, используем известную нам формулу гидростатического давления: [i]

p = ρ_{рт} g h

Учитывая, что плотность ртути равна $13600 {кг/м}^{3}$ , найдём значение гидростатического давления при высоте столба ртути в 1 мм: [i]

p = 13600 \cdot 10 \cdot 0, 001 = 136 Па

Таким образом, 1 мм рт. ст. = 136 Па. [i]

Практикум

Задание 1
При постоянной температуре давление газа на стенки сосуда уменьшилось в 6 раз. Во сколько раз при этом увеличился объём газа? Масса газа не изменялась. [i]

Из условия: $p_{2} = \frac{p_{1}}{6}$
По закону Бойля — Мариотта:
$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}} = 6$
Ответ: 6. [i]

Задание 2
Температуру идеального газа уменьшили в 4 раза, при этом его давление увеличилось в 2 раза. Во сколько раз уменьшился объём идеального газа? Масса газа не изменялась. [i]

Из условия: $T_{2} = \frac{T_{1}}{4}$ ; $p_{2} = 2 p_{1}$
$\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}$
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{T_{1} p_{2}}{T_{2} p_{1}} = 4 \cdot 2 = 8$
Ответ: 8. [i]

Задание 3
В цилиндре находится идеальный газ, который переводят из состояния А в состояние В. Масса газа остаётся постоянной. В таблице ниже приведены параметры, определяющие состояния газа. Найдите число, которое должно стоять в пустой ячейке таблицы. [i]

	$p$ , $10^{5}$ Па	$V$ , $10^{- 3}$ м³	$T$ , К
Состояние А	1,5	6
Состояние В	2	9	800

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для обоих состояний:
$p_{1} V_{1} = ν R T_{1}$
$p_{2} V_{2} = ν R T_{2}$
Поделив одно уравнение на другое, получим:
$\frac{p_{2} V_{2}}{p_{1} V_{1}} = \frac{n u R T_{1}}{n u R T_{2}} = \frac{T_{1}}{T_{2}} ⟹ T_{1} = T_{2} \cdot \frac{p_{1} V_{1}}{p_{2} V_{2}} = 800 \cdot \frac{1, 5}{2} \cdot \frac{6}{9} = 400 К$
Ответ: 400 К. [i]

Задание 4
В сосуде находится некоторое количество идеального газа $ν$ . Газ переходит из состояния 1 в состояние 2, как показано на рисунке. Во сколько раз увеличится температура газа в процессе 1–2?
[i]

По рисунку: $V_{2} = 4 V_{1}$ и $p_{1} = p_{2}$
Так как процесс изобарный, то $\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}} ⟹ \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} = 4$
Ответ: 4. [i]

Задание 5
При температуре $T_{0}$ и давлении $p_{0}$ 1 моль идеального газа занимает объём $3 V_{0}$ . Сколько моль газа при температуре $2 T_{0}$ и давлении $2 p_{0}$ занимают объём $6 V_{0}$ ? [i]

Запишем уравнения Менделеева — Клапейрона:
$p_{0} \cdot 3 V_{0} = ν_{1} R T_{0}$
$2 p_{0} \cdot 6 V_{0} = ν_{2} R \cdot 2 T_{0}$
$p_{0} V_{0} = \frac{ν_{1} R T_{0}}{3}$
$6 p_{0} V_{0} = ν_{2} R T_{0}$
$6 \cdot \frac{ν_{1} R T_{0}}{3} = ν_{2} R \cdot T_{0}$
$ν_{2} = 2 ν_{1} = 2 \cdot 1 = 2 моль$
Ответ: 2 моль. [i]

Задание 6
В сосуде находится 2 моль неона при температуре $T$ , давлении $p$ и объёме $V$ . Во сколько раз больше объём 4 моль кислорода при тех же значениях давления и температуры? [i]

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона в обоих случаях:
$p V_{1} = ν_{1} R T$
$p V_{2} = ν_{2} R T$
Поделим одно на другое:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{ν_{2}}{ν_{1}} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2. [i]

Задание 7
На рисунке изображено изменение состояния постоянной массы разреженного аргона. Температура газа в состоянии 1 равна 27 °C. Какая температура соответствует состоянию 2? Ответ дайте в К. [i]

Изменение состояния постоянной массы разреженного аргона.

$T_{1} = 27 ° С = 27 + 273 = 300 К$
$V — const$ , значит $p = c T$
Давление выросло в 3 раза, следовательно, и температура тоже:
$p ↑_{в 3} = c T ↑_{в 3}$
$T_{2} = 3 T_{1} = 3 \cdot 300 = 900 К$
Ответ: 900 К. [i]

Задание 8
В баллоне объёмом 16,62 л находится 32 г неона при давлении $2 \cdot 10^{5}$ Па. Найдите температуру неона. Ответ выразите в К. [i]

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
$p V = \frac{m}{M} R T$
$T = \frac{p V M}{m R} = \frac{2 \cdot 10^{5} \cdot 16, 62 \cdot 10^{- 3} \cdot 0, 02}{32 \cdot 10^{- 3} \cdot 8, 31} = 250 К$
Ответ: 250 К. [i]

Задание 9
В закрытом сосуде находится два моль идеального газа при температуре 600 К. Газ начинают охлаждать. Ниже представлен график зависимости давления $p$ этого газа от времени $t$ . Определите объём сосуда, в котором находится газ. Ответ выразите в литрах. [i]

График зависимости давления p газа от времени t.

$T_{1} = 600$ К; $p_{1} = 83, 1 \cdot 10^{3}$ Па; $ν = 2$ моль
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона в начальный момент времени:
$p_{1} V_{1} = ν R T_{1} ⟹ V_{1} = \frac{ν R T_{1}}{p_{1}} = \frac{2 \cdot 8, 31 \cdot 600}{166, 2 \cdot 10^{3}} = 0, 06 м^{3} = 60 л$
Ответ: 60 л. [i]

Заключение

Теперь ты понимаешь, что такое изопроцессы и чем они отличаются друг от друга. Знаешь, какие величины остаются постоянными в изотермическом, изобарном и изохорном процессах и как при этом связаны давление, объём и температура газа.
Ты умеешь:
определять тип процесса по условию или графику;
читать и строить графики в координатах $p (V)$ , $V (T)$ и $p (T)$ ;
применять газовые законы и уравнение Менделеева — Клапейрона;
решать типовые задачи ЕГЭ разного уровня сложности.
Теперь ты можешь уверенно работать с заданиями на изопроцессы и не терять баллы на этой теме. [i]