Изопроцессы — Физика | 100балльный учебник

Изопроцессы — одна из ключевых тем раздела «Молекулярная физика и термодинамика» в ЕГЭ по физике. Задания по ней встречаются как в первой части (теория и анализ графиков), так и во второй (расчётные задачи). Без понимания того, как связаны давление, объём и температура газа в разных условиях, справиться с ними сложно.
В этой статье рассмотрим три основных изопроцесса: изотермический, изобарный и изохорный. Для каждого из них приведены графики в координатах $p(V)$, $V(T)$ и $p(T)$ и уравнения, связывающие параметры газа в разных состояниях. В конце выполним задания из реальных экзаменов, включая задачи на анализ таблиц и графиков.

Что такое изопроцессы

Приставка изо- в физике подразумевает, что какая-то величина остаётся постоянной.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV = \nu RT

В нём четыре переменные могут изменять своё значение — это давление $p$, объём $V$, количество вещества $\nu$ и абсолютная температура $T$. Однако во всех изопроцессах мы рассматриваем случаи, в которых количество вещества $\nu$ всегда неизменно:

\nu = \text{const}

В зависимости от того, какая величина, помимо количества вещества, остаётся постоянной, выделяют три процесса:
Изотермический ($T$, $\nu$ — const).
Изобарический ($p$, $\nu$ — const).
Изохорический ($V$, $\nu$ — const).

Изотермический процесс

Изотермический процесс — процесс, который протекает при постоянной температуре и с постоянным количеством вещества газа.

T, \nu - \text{const}

В изотермическом процессе вся правая часть уравнения Менделеева — Клапейрона будет постоянна:

pV = \nu RT - \text{const}

Обозначим const как некоторый коэффициент $c$:

c = \nu RT - \text{const}

Следовательно, в изотермическом процессе при неизменной абсолютной температуре и постоянном количестве вещества изменяются давление и объём.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона при изотермическом процессе с некоторой константой $c$ и выразим через него давление $p$:

pV = c

p = \frac{c}{V}

График такой зависимости в координатах $p(V)$ — это гипербола. Построим его:

График уравнения Менделеева — Клапейрона при изотермическом процессе с некоторой константой c — График уравнения Менделеева — Клапейрона при изотермическом процессе с некоторой константой С.

Если увеличить значение коэффициента $c$, увеличив абсолютную температуру, при которой происходит изотермический процесс, то график зависимости $p$ от $V$ будет находиться выше:

Следовательно, чем выше график изотермы, тем большей абсолютной температуре он соответствует.
Учитывая, что $pV — \text{const}$, можно записать уравнение, которое отражает закон Бойля — Мариотта:

p_1 V_1 = p_2 V_2

Построим графики зависимости давления и объёма от температуры при изотермическом процессе:

Графики зависимости давления и объёма от температуры при изотермическом процессе.

p>Значение давления и объёма не могут равняться нулю, так как при таких значениях вещество будет отсутствовать, а при отсутствии вещества нельзя определить его температуру. Поэтому графики зависимости начинаются не от оси, а на некотором расстоянии от неё.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Изобарный процесс

Изобарный (изобарический) процесс — процесс, который протекает при постоянном давлении и с постоянным количеством вещества газа.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона и выразим объём:

V = \frac{\nu R}{p} \cdot T

Обозначим за некоторую константу $c$ выражение $\dfrac{\nu R}{p}$:

V = cT

Если присутствуют две изобары, давления которых отличаются, то чем выше давление, тем меньше значение константы:

p_1 = 1 \text{ атм}

p_2 = 2 \text{ атм}

c_1 > c_2

В этом примере мы использовали единицы измерения, которые называются атмосферами (атм): 1 атмосфера равна $10^5$ Па.
Построим графики зависимости давления от температуры и от объёма:

Графики зависимости давления от температуры и от объёма.

Построим график зависимости объёма от температуры:

График зависимости объёма от температуры

Учитывая, что $\dfrac{V}{T} = \text{const}$, можно записать уравнение, которое отражает закон Гей — Люссака:

\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}

Изохорный процесс

Изохорный (изохорический) процесс — процесс, который протекает при постоянном объёме и с постоянным количеством вещества газа.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона и выразим давление:

p = \frac{\nu R}{V} \cdot T

Обозначим за некоторую константу выражение $\dfrac{\nu R}{V}$:

\frac{\nu R}{V} = c - \text{const}

p = c \cdot T

Если присутствуют две изохоры, объёмы на которых отличаются, то чем выше объём, тем меньше значение константы:

V_1 = 1 \text{ м}^3

V_2 = 2 \text{ м}^3

c_1 > c_2

Построим графики зависимости объёма от температуры и давления от объёма:

Графики зависимости объёма от температуры и давления от объёма.

Построим график зависимости давления от температуры:

График зависимости давления от температуры.

Учитывая, что $\dfrac{p}{T} = \text{const}$, можно записать уравнение, которое отражает закон Шарля:

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}

Миллиметры ртутного столба

В повседневной жизни давление часто измеряется в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.), однако в СИ единицами измерения давления являются паскали (Па). Установим связь между мм рт. ст. и Па.
Чтобы найти давление столба ртути, используем известную нам формулу гидростатического давления:

p = \rho_{\text{рт}} g h

Учитывая, что плотность ртути равна $13600 \text{ кг/м}^3$, найдём значение гидростатического давления при высоте столба ртути в 1 мм:

p = 13600 \cdot 10 \cdot 0{,}001 = 136 \text{ Па}

Таким образом, 1 мм рт. ст. = 136 Па.

Практикум

Задание 1
При постоянной температуре давление газа на стенки сосуда уменьшилось в 6 раз. Во сколько раз при этом увеличился объём газа? Масса газа не изменялась.

Из условия: $p_2 = \dfrac{p_1}{6}$
По закону Бойля — Мариотта:
$p_1 V_1 = p_2 V_2$
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = 6$
Ответ: 6.

Задание 2
Температуру идеального газа уменьшили в 4 раза, при этом его давление увеличилось в 2 раза. Во сколько раз уменьшился объём идеального газа? Масса газа не изменялась.

Из условия: $T_2 = \dfrac{T_1}{4}$; $p_2 = 2p_1$
$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1 p_2}{T_2 p_1} = 4 \cdot 2 = 8$
Ответ: 8.

Задание 3
В цилиндре находится идеальный газ, который переводят из состояния А в состояние В. Масса газа остаётся постоянной. В таблице ниже приведены параметры, определяющие состояния газа. Найдите число, которое должно стоять в пустой ячейке таблицы.

	$p$, $10^5$ Па	$V$, $10^{-3}$ м³	$T$, К
Состояние А	1,5	6
Состояние В	2	9	800

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для обоих состояний:
$p_1 V_1 = \nu R T_1$
$p_2 V_2 = \nu R T_2$
Поделив одно уравнение на другое, получим:
$\frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{nu R T_1}{nu R T_2}= \frac{T_1}{T_2} \implies T_1 = T_2 \cdot \frac{p_1 V_1}{p_2 V_2} = 800 \cdot \frac{1{,}5}{2} \cdot \frac{6}{9} = 400 \text{ К}$
Ответ: 400 К.

Задание 4
В сосуде находится некоторое количество идеального газа $\nu$. Газ переходит из состояния 1 в состояние 2, как показано на рисунке. Во сколько раз увеличится температура газа в процессе 1–2?

По рисунку: $V_2 = 4V_1$ и $p_1 = p_2$
Так как процесс изобарный, то $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \implies \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{V_2}{V_1} = 4$
Ответ: 4.

Задание 5
При температуре $T_0$ и давлении $p_0$ 1 моль идеального газа занимает объём $3V_0$. Сколько моль газа при температуре $2T_0$ и давлении $2p_0$ занимают объём $6V_0$?

Запишем уравнения Менделеева — Клапейрона:
$p_0 \cdot 3V_0 = \nu_1 R T_0$
$2p_0 \cdot 6V_0 = \nu_2 R \cdot 2T_0$
$p_0 V_0 = \frac {\nu_1 R T_0}{3}$
$6 p_0 V_0 =\nu_2 R T_0$
$6 \cdot \frac{\nu_1 R T_0}{3} = \nu_2R \cdot T_0$
$\nu_2 = 2\nu_1 = 2 \cdot 1 = 2 \text{моль}$
Ответ: 2 моль.

Задание 6
В сосуде находится 2 моль неона при температуре $T$, давлении $p$ и объёме $V$. Во сколько раз больше объём 4 моль кислорода при тех же значениях давления и температуры?

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона в обоих случаях:
$p V_1 = \nu_1 R T$
$p V_2 = \nu_2 R T$
Поделим одно на другое:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2.

Задание 7
На рисунке изображено изменение состояния постоянной массы разреженного аргона. Температура газа в состоянии 1 равна 27 °C. Какая температура соответствует состоянию 2? Ответ дайте в К.

Изменение состояния постоянной массы разреженного аргона.

$T_1 = 27 °\text{С} = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$V — \text{const}$, значит $p = cT$
Давление выросло в 3 раза, следовательно, и температура тоже:
$p \uparrow_\text{в 3} = c T \uparrow_\text{в 3}$
$T_2 = 3T_1 = 3 \cdot 300 = 900 \text{ К}$
Ответ: 900 К.

Задание 8
В баллоне объёмом 16,62 л находится 32 г неона при давлении $2 \cdot 10^5$ Па. Найдите температуру неона. Ответ выразите в К.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
$pV = \frac{m}{M} RT$
$T = \frac{pVM}{mR} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 16{,}62 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}02}{32 \cdot 10^{-3} \cdot 8{,}31} = 250 \text{ К}$
Ответ: 250 К.

Задание 9
В закрытом сосуде находится два моль идеального газа при температуре 600 К. Газ начинают охлаждать. Ниже представлен график зависимости давления $p$ этого газа от времени $t$. Определите объём сосуда, в котором находится газ. Ответ выразите в литрах.

График зависимости давления p газа от времени t.

$T_1 = 600$ К; $p_1 = 83{,}1 \cdot 10^3$ Па; $\nu = 2$ моль
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона в начальный момент времени:
$p_1 V_1 = \nu R T_1 \implies V_1 = \frac{\nu R T_1}{p_1} = \frac{2 \cdot 8{,}31 \cdot 600}{166{,}2 \cdot 10^3} = 0{,}06 \text{ м}^3 = 60 \text{ л}$
Ответ: 60 л.

Заключение

Теперь ты понимаешь, что такое изопроцессы и чем они отличаются друг от друга. Знаешь, какие величины остаются постоянными в изотермическом, изобарном и изохорном процессах и как при этом связаны давление, объём и температура газа.
Ты умеешь:
определять тип процесса по условию или графику;
читать и строить графики в координатах $p(V)$, $V(T)$ и $p(T)$;
применять газовые законы и уравнение Менделеева — Клапейрона;
решать типовые задачи ЕГЭ разного уровня сложности.
Теперь ты можешь уверенно работать с заданиями на изопроцессы и не терять баллы на этой теме.