Почему одни силы заставляют тело вращаться, а другие — нет? Всё дело в моменте силы и расстоянии до оси вращения. Разберёмся, как работает правило рычага и как с его помощью решать задачи.
Правило рычага
Рассмотрим тело, способное вращаться вокруг точки $O$, на которое действуют силы $F_1$ и $F_2$:
Проведём линии действия этих сил и найдём точку их пересечения. В этой точке сложим силы как векторы, используя правило параллелограмма, чтобы определить их равнодействующую.
Для равновесия тела необходимо, чтобы равнодействующая не вызывала вращения. Это возможно только в том случае, если её линия действия проходит через точку $O$.
Обозначим расстояния от точки $O$ до линий действия сил как $d_1$ и $d_2$ — это плечи сил. Построим вспомогательные отрезки $b_1$ и $b_2$, параллельные сторонам параллелограмма сил.
Из построения следует, что полученные фигуры подобны, поэтому отношение соответствующих сторон равно:
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{F_2}{F_1}$
С другой стороны, используя геометрические соотношения:
$\sin\alpha = \frac{d_1}{b_1} = \frac{d_2}{b_2} \implies \frac{b_1}{b_2} = \frac{d_1}{d_2}$
Приравнивая выражения, получаем:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{d_1}{d_2}$
$F_1 d_1 = F_2 d_2$
Это соотношение известно как правило рычага.
Момент силы
Момент силы характеризует способность силы вызывать вращение и определяется как произведение силы на её плечо:
$M = Fd,$
где $d$ — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Теперь рассмотрим тело, вращающееся вокруг точки $O$, к которому приложено несколько сил.
Для каждой из них момент вычисляется отдельно:
$M_1 = F_1 d_1$
$M_2 = F_2 d_2$
$M_3 = F_3 d_3$
$M_4 = F_4 d_4$
В состоянии равновесия суммарный момент всех сил относительно точки $O$ равен нулю.
Задание 1
Невесомый стержень прикреплён к потолку с помощью каната (см. рисунок). К третьему от правого конца стержня крючку подвесили груз массой 2 кг. Чему равна масса груза, подвешенного ко второму от левого конца стержня крючку, если стержень находится в равновесии? Ответ дайте в килограммах.
Посчитав по клеточкам, понимаем, что плечо силы $m_1 g$ равно $2x$, плечо силы $m_2 g$ равно $5x$.
Запишем правило моментов:
$m_1 g \cdot 2x = m_2 g \cdot 5x$
$m_1 = \frac{5}{2} m_2 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 \text{ кг}$
Ответ: 5 кг.
Задание 2
На лёгкую штангу действуют силы $F_1 = 4$ Н и $F_2 = 6$ Н, как показано на рисунке. Определите, в какой из точек (1–6) должна находиться опора штанги, чтобы она оставалась в равновесии.
Расположим опору произвольно, плечо силы $F_2$ будет равно $b$, а расстояние между каждой из точек (1–6) равно 1.
Запишем правило моментов:
$F_1 (b + 1) = F_2 b$
$F_1 \cdot 1 = F_2 b − F_1 b$
$F_1 = (F_2 − F_1) b \implies b = \frac{F_1}{F_2 − F_1} = \frac{4}{6 − 4} = 2$
Значит, опора должна быть расположена в точке 4.
Ответ: 4.
Задание 3
На невесомый стержень действуют сила $F$ и сила тяжести груза массой $m = 150$ кг, при этом стержень находится в равновесии. На рисунке представлены: длина стержня, расстояния между точками приложения сил и точкой опоры стержня, проекции этих расстояний на ось $Ox$ и $Oy$. Чему равен модуль силы $F$? Ответ выразите в ньютонах.
Опора находится в точке $O$. Проведём перпендикуляр от прямой, на которой расположена сила $F$, до точки $O$. Плечо силы $F$ будет равно 12 м. Аналогично с силой $mg$ — плечо силы тяжести будет равно $16 − 12 = 4$ м.
Запишем правило моментов:
$F \cdot 12 = mg \cdot 4$
$F = \frac{mg}{3} = \frac{150 \cdot 10}{3} = 500 \text{ Н}$
Ответ: 500 Н.
Задание 4
С помощью механизма, изображённого на рисунке, равномерно поднимают груз массой 40 кг. Определите, какое усилие для этого необходимо прикладывать к рукоятке механизма длиной 50 см с радиусом вала 20 см. Ответ выразите в ньютонах.
Нарисуем вид сбоку:
Запишем правило моментов относительно точки $O$:
$FR = mgr$
$F = \frac{mgr}{R}$
$F = \frac{40 \cdot 10 \cdot 20 \text{ см}}{50 \text{ см}}$
$F = 160 \text{ Н}$
Ответ: 160 Н.
Задание 5
Через отверстие в точке $O$ невесомой доски продели стальной стержень и жёстко закрепили его так, чтобы не было продольного смещения доски по нему. Доска может свободно вращаться относительно оси стержня. Считать доску абсолютно твёрдым телом. К её поверхности на расстоянии $L$ от оси вращения прикладывают силу $F$, лежащую в плоскости, перпендикулярной стержню (см. рисунок).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго.
| ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ | ФОРМУЛЫ |
|---|---|
| А) плечо силы $\overline{F}$ Б) момент силы $\overline{F}$ относительно оси вращения | 1) $L\sin\alpha$ 2) $L\cos\alpha$ 3) $FL\cos\alpha$ 4) $FL\sin\alpha$ |
Плечо — расстояние от точки $O$ до прямой, которая содержит вектор силы $\vec{F}$.
$\sin\alpha = \frac{d}{l} \implies d = l\sin\alpha \text{ — плечо силы } F. \text{ Подходит формула 1.}$
$M = Fd = Fl\sin\alpha \text{ — момент силы } F \text{ относительно оси вращения. Подходит формула 4.}$
Ответ: 14.
Заключение
Момент силы — ключевой инструмент для анализа равновесия. Он позволяет учитывать не только величину силы, но и её «эффективность» относительно оси вращения. Освоив правило рычага и принцип равенства моментов, можно быстро и точно решать задачи любой сложности.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
