Банк заданий
ЕГЭ по информатике

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=1$ при $n \leq 3$;

$F(n)=(n+1)+F(n-2)$, если $n>3$.

Чему равно значение выражения $F(2028)-F(2024)$?

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 22 или 60 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 212. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 212 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 211$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 22 или 60 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 212. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 212 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 211$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

- Петя не может выиграть за один ход;

- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 22 или 60 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 212. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 212 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 211$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите минимальное значения $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первых ходом.

Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите минимальное из них.

Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды, которые обозначены латинскими буквами:

A. Прибавить 1

B. Умножить на 2

C. Возвести в квадрат

Первая из этих команд увеличивает число на экране на 1, вторая - увеличивает в два раза, третья заменяет на квадрат числа.

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является 42 и при этом траектория вычислений содержит число 23, но не содержит число 12?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы.

Например, для программы ABC при исходном числе 7 траектория состоит из чисел 8, 16, 49.