Банк заданий
ЕГЭ по информатике

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21 или 40 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 38. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 38 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 37$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

- У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- У Вани нет стратегии, которая позволяем ему гарантированно выиграть первых ходом.

Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.

У исполнителя есть две команды, которые обозначены латинскими буквами:

А. Вычти 1

В. Найди целую часть от деления на 2

Первая из них уменьшает число на экране на 1, вторая заменяет число на экране на целую часть от деления числа на 2.

Программа для исполнителя - это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 32 результатом является число 1, и при этом траектория вычислений содержит число 10?

Траектория вычислений программы - это последовательность результатов выполнения всех команд программы.
Например, для программы ABB при исходном числе 10 траектория состоит из чисел 9, 4, 2.

Текстовый файл состоит из заглавных букв латинского алфавита $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$. Определите максимальное количество идущих подряд символов в прилагаемом файле, среди которых пара символов $AB$ (в указанном порядке) встречается не более 110 раз.

Для выполнения этого задания следует написать программу.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/1XOFt9jbU4tlQkd5GdHsKZnBYeDkgY59X/view?usp=drive_link

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 755000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, у которых есть натуральный делитель, содержащий в своей записи цифру 6 и неравный ни самому числу, ни числу 6.

В ответе запишите в первой строке таблицы первые пять найденных чисел в порядке возрастания, а во втором столбце - наименьший делитель для каждого из них, содержащий в записи цифру 6, неравный ни самому числу, ни числу 6.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

При онлайн-покупке билета на концерт известно, какие места в зале уже заняты. Необходимо купить два билета на два соседних места в одном ряду, чтобы перед ним как можно больше идущих подряд кресел с таким же номером было свободно. Если места, удовлетворяющие этому условию, есть в нескольких рядах, то нужно выбрать ряд с наибольшим значением. В ответе запишите два целых числа: ряд и наибольший номер места. Нумерация рядов и мест ведется с 1. Гарантируется, что хотя бы одна такая пара в зале есть.

Входные данные

В первой строке исходного файла находятся три числа: $N$ -  количество занятых мест в зале (целое положительное число, не превышающее 10000), $M$ - количество рядов (целое положительное число, не превышающее 100000) и $K$ - количество мест в каждом ряду (целое положительное число, не превышающее 100000). В следующих $N$ строках находятся пары натуральных чисел: номер ряда и номер места занятого кресла соответственно(первое число не превышает значения $M$, второе - $K$)

Выходные данные

Два целых положительных числа: искомый номер ряда и количество свободных кресел перед выбранным местом.

Типовой пример организации данных во входном файле

7 7 8

1 1

6 6

5 5

6 7

4 4

2 2

3 3

При таких исходных данных ответом является пара чисел 5 и 6. Условию задачи удовлетворяют места 6 и 7 в ряду 5: перед креслами 6 и 7 нет занятых мест и это первая из двух возможных пар в этом ряду. В рядах 6 и 7 искомую пару найти нельзя.

Типовой пример имеет иллюстративный характер. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

В некотором городе начал функционировать новый коммерческий банк «Flash Money», который хочет разместить несколько отделений в городе так, чтобы всем клиентам было удобно добраться до отделения и воспользоваться всеми видами банковских услуг.

Управляющий решил провести разбиение (кластеризацию) клиентов по их расположению на карте города. В банке известны адреса всех клиентов (как координаты на карте). Кластер точек одного района – это набор координат клиентов на графике, лежащий внутри прямоугольника со сторонами длиной $H$ и $W$, причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям. Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Задача управляющего – это определить центр каждого района (кластера) для того, чтобы разместить там отделение банка. Будем называть центром кластера точку этого кластера на графике, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера (координат клиентов) минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками$A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d(A, B) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

Аномалиями назовём точки, находящиеся на расстоянии более одной условной единицы от точек района (кластеров). При расчётах аномалии учитывать не нужно.

В файле A хранятся данные о координатах клиентов двух районов (кластеров), где $H=3$, $W=3$ для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении на карте одного клиента: сначала координата $x$, затем координата $y$. Значения даны в условных единицах. Известно, что количество клиентов банка не превышает 1000.

В файле B хранятся данные о координатах клиентов трёх районов (кластеров), где $H=3$, $W=3$ для каждого кластера. Известно, что количество клиентов банка не превышает 10000. Структура хранения информации о клиентах в файле B аналогична файлу А. 

Для каждого файла определите координаты центра каждого района (кластера), затем вычислите два числа: $P_x​$ – среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и  $P_y$ – среднее арифметическое ординат центров кластеров.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала абсолютное значение целой части произведения $P_x*10000$, затем абсолютное значение целой части произведения  $P_y*10000$ для файла А, во второй строке – аналогичные данные для файла B.

Возможные данные одного из файлов иллюстрированы графиком. 

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющих отношения к заданию. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла. 

Файл А к заданию: https://drive.google.com/file/d/1w-Gq5mRV4G3aNBgG8E-XUznGqFGOsJPV/view?usp=drive_link

Файл B к заданию: https://drive.google.com/file/d/1DsBVI_v8vPZ5WlxJzUOvDVE-mZD-OoAs/view?usp=drive_link

Артем заполнял таблицу истинности логической функции $F=¬(z → w) ∨ (z ∨ x) ∧ y ∨ ¬x$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных ее строк даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w, x, y, z$.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w, x, y, z$.

В ответе напишите буквы $w, x, y, z$ в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

В файле приведён фрагмент базы данных «Кондитерские изделия» о поставках конфет и печенья в магазины районов города. База данных состоит из трёх таблиц.

Таблица «Движение товаров» содержит записи о поступлении товаров со склада в магазины в течение августа 2023 г., а также информацию о проданных товарах. Поле Тип операции содержит значение Поступление или Продажа, а в соответствующее поле Количество упаковок, шт. внесена информация о том, сколько упаковок товара поступило в магазин или было продано в течение дня. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Товар» содержит информацию об основных характеристиках каждого товара. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Магазин» содержит информацию о местонахождении магазинов. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

На рисунке приведена схема указанной базы данных.

Используя информацию из приведённой базы данных, определите общую массу (в кг) всех видов пастилы, проданных магазинами на улице Металлургов за период с 9 по 20 августа включительно.

В ответе запишите целую часть полученного числа.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/12t4PTeEwVPW-sUo26fgiuA55H3VYqYKX/edit?usp=drive_link&ouid=116465865022064948770&rtpof=true&sd=true

Для кодирования семи нот гаммы применили неравномерный двоичный код, при этом использовали кодовые слова, приведённые в таблице.

Укажите кратчайшее кодовое слово для ноты Ми, при котором код будет удовлетворять условию Фано. Если таких несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.

1. Строится троичная запись числа $N$.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число $N$ делится на 3, то к этой записи дописывается две последние троичные цифры;

б) если число $N$ на 3 не делится, то вычисляется сумма цифр полученной троичной записи, эта сумма переводится в троичную систему счисления и дописывается в конец числа.

Полученная таким образом запись является троичной записью искомого числа $R$.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Укажите минимальное чётное число $R$, большее 220, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует 6 команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Вперёд $\textbf n$ (где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение Черепахи на $n$ единиц в том направлении, куда указывает её голова; Назад $\textbf n$(где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов по часовой стрелке, Налево $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов против часовой стрелки.

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 4 [Вперёд 16 Направо 90 Вперёд 22 Направо 90]

Поднять хвост

Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 5 Налево 90

Опустить хвост

Повтори 4 [Вперёд 57 Направо 90 Вперёд 75 Направо 90]. 

Определите площадь области пересечения фигур, ограниченных заданным алгоритмом линиями.

Артем делает цветные фотографии размером 7680 на 4320 пикселей, используя палитру из 232 цветов. Фотограф сохраняет снимки на сменные карты памяти, каждая из которых вмещает не более 8 Гбайт данных. Когда на карте памяти остаётся недостаточно места для записи новой фотографии, фотограф заменяет её на следующую, свободную. Известно, что фотограф сделал 2987 снимков. Сколько снимков оказалось на последней карте памяти из использованных? В ответе запишите целое число.

Все пятибуквенные слова, в составе которых могут быть только буквы П, А, М, Я, Т, Ь, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с 1. Ниже приведено начало списка:

1. ААААА

2. ААААМ

3. ААААП

4. ААААТ

5. ААААЬ

6. ААААЯ

Под каким номером в списке идёт последнее слово с чётным номером, которое не содержит букв Ь и содержит ровно две буквы Я?

Примечание. Слово - последовательность идущих подряд букв, не обязательно осмысленная.

Откройте файл электронной таблицы, содержащий в каждой строке семь натуральных чисел. Определите наибольший номер строки таблицы, для чисел которой выполнены оба условия:

- в строке есть ровно два числа, каждое из которых повторяется трижды, и одно число без повторений;

- среднее арифметическое повторяющихся чисел строки меньше неповторяющегося числа.

В ответе запишите только число.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/13ld-PhGYflo1RwKS3d42UvFjX8ehl5WQ/view?usp=drive_link

На предприятии каждой изготовленной детали присваивается серийный номер, состоящий из 431 символа. В базе данных для хранения каждого серийного номера отведено одинаковое и минимально возможное число байт. При этом используется посимвольное кодирование серийных номеров, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Известно, что для хранения 154789 серийных номеров требуется не менее 43 Мбайт памяти. Определите минимально возможную мощность алфавита, используемого для записи серийных номеров.

В ответе запишите только целое число.

Исполнитель МТ представляет собой читающую и записывающую головку, которая может передвигаться вдоль бесконечной горизонтальной ленты, разделённой на равные ячейки. В каждой ячейке находится ровно один символ из алфавита исполнителя (множество символов $A=\{a_{0},a_{1},…,a_{n–1}\}$), включая специальный пустой символ $a_{0}$.

Время работы исполнителя делится на дискретные такты (шаги). На каждом такте головка МТ находится в одном из множества допустимых состояний $Q=\{q_{0},q_{1},…,q_{n–1}\}$. В начальный момент времени головка находится в начальном состоянии $q_{0}$.

На каждом такте головка обозревает одну ячейку ленты, называемую текущей ячейкой. За один такт головка исполнителя может переместиться в ячейку справа или слева от текущей, не меняя находящийся в ней символ, или заменить символ в текущей ячейке без сдвига в соседнюю ячейку. После каждого такта головка переходит в новое состояние или остаётся в прежнем состоянии.

Программа работы исполнителя МТ задаётся в табличном виде.

В первой строке перечислены все возможные символы в текущей ячейке ленты, в первом столбце – возможные состояния головки. На пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца находится команда, которую выполняет МТ, когда головка обозревает $j$-й символ, находясь в $i$-м состоянии. Если пара «символ – состояние» невозможна, то клетка для команды остаётся пустой.

Каждая команда состоит из трёх элементов, разделённых запятыми: первый элемент – записываемый в текущую ячейку символ алфавита (может совпадать с тем, который там уже записан). Второй элемент – один из четырёх символов $«L»$, $«R»$, $«N»$, $«S»$. Символы $«L»$ и $«R»$ означают сдвиг в левую или правую ячейки соответственно, $«N»$ – отсутствие сдвига, $«S»$ – завершение работы исполнителя МТ после выполнения текущей команды. Сдвиг происходит после записи символа в текущую ячейку. Третий элемент – новое состояние головки после выполнения команды.

Например, команда $0, L, q_{3}$ выполняется следующим образом: в текущую ячейку записывается символ $«0»$, затем головка сдвигается в соседнюю слева ячейку и переходит в состояние $q_{3}$.

Выполните задание

На ленте исполнителя МТ в соседних ячейках записана последовательность из 1000 символов, включающая только нули, единицы и двойки. Ячейки справа и слева от последовательности заполнены пустыми символами $«λ»$. В начальный момент времени головка расположена в ближайшей ячейке слева от последовательности.

Программа работы исполнителя:

После выполнения программы на ленте оказались цифры, сумма которых равна 437. Определите максимально возможное число двоек в исходной последовательности.

В терминологии сетей TCP/IP маской сети называется двоичное число, которое показывает, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая — к адресу узла в этой сети. Адрес сети получается в результате применения поразрядной конъюнкции к заданному адресу узла и его маске. Широковещательным адресом называется специализированный адрес, в котором на месте нулей в маске стоят единицы. Адрес сети и широковещательный адрес не могут быть использованы для адресации сетевых устройств.

Сеть задана IP-адресом одного из входящих в неё узлов 142.29.122.138 и сетевой маской 255.255.192.0.

Найдите наибольший в данной сети IP-адрес, который может быть назначен компьютеру. В ответе укажите найденный IP-адрес без разделителей.

Например, если бы найденный IP-адрес был равен 111.22.3.44, то в ответе следовало бы записать 11122344.

Значение арифметического выражения $5^{100} - x$, где $x$ – целое положительное число, не превышающее 2500, записали в пятеричной системе счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором в пятеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится наибольшее количество нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [16; 53]$ и $Q = [38; 75]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$$(x∈P) → (((x∈Q) ∧ ¬(x∈A)) → ¬(x∈P))$$

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – целое число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = n$ при $n < 10$;

$F(n) = (n - 1) * F(n - 2)$, если $n ≥ 10$.

Чему равно значение функции $(F(34652) - 250 * F(34650)) / F(34648)$?

В файле содержится последовательность целых чисел. Её элементы могут принимать целые значения от –100000 до 100000 включительно. Определите количество троек последовательности, в которых хотя бы один элемент является пятизначным числом и оканчивается на 43, а сумма квадратов элементов тройки не больше квадрата максимального элемента последовательности, являющегося пятизначным числом и оканчивающегося на 43. Гарантируется, что такой элемент в последовательности есть. В ответе запишите количество найденных троек, затем минимальную из сумм квадратов элементов таких троек. В данной задаче под тройкой подразумевается три идущих подряд элемента последовательности.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/14uWLea6b2AVhmRbzCpzLML6HftvSiiig/view?usp=drive_link

Квадрат разлинован на $N * N$ клеток ($1 < N < 30$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вниз – в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.

Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.

В «угловых» клетках поля - тех, которые справа и снизу ограничены стенами, Робот не может продолжать движение, поэтому накопленная сумма считается итоговой. Таких конечных клеток на поле может быть несколько, включая правую нижнюю клетку поля. При разных запусках итоговые накопленные суммы могут различаться.

Определите максимальную и минимальную денежные суммы, среди всех возможных итоговых сумм, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в конечную клетку маршрута.

В ответе укажите два числа - сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N * N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.

Пример входных данных

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1tTFEgqNdZZTrk99rdiwOteFLdumiVSna/edit?usp=drive_link&ouid=116465865022064948770&rtpof=true&sd=true

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

- добавить в кучу 3 камня;

- добавить в кучу 5 камней;

- увеличить количество камней в куче в 3 раза.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 25 или 60 камней.

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 97. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 97 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 96$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

- добавить в кучу 3 камня;

- добавить в кучу 5 камней;

- увеличить количество камней в куче в 3 раза.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 25 или 60 камней.

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 97. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 97 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 96$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

- Петя не может выиграть за один ход;

- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

- добавить в кучу 3 камня;

- добавить в кучу 5 камней;

- увеличить количество камней в куче в 3 раза.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 25 или 60 камней.

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 97. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 97 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 96$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.