Банк заданий
ЕГЭ по информатике

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 1$ при $n = 1$;

$F(n) = n * F(n - 1)$, если $n > 1$.

Чему равно значение выражения $(F(2024) / 8 + F(2023)) / F(2022)$?

В файле содержится последовательность натуральных чисел. Её элементы могут принимать целые значения от 1 до 100000 включительно. Определите количество пар последовательности, в которых сумма остатков от деления обоих элементов на 20 равна минимальному элементу последовательности. В ответе запишите количество найденных пар, затем максимальную из сумм элементов таких пар. В данной задаче под парой подразумевается два идущих подряд элемента последовательности.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/19RgbSfsiDXZVX_YS8Xd1XcTuHF70LIaE/view?usp=sharing

Квадрат разлинован на $N * N$ клеток ($1 < N < 30$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вниз – в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.

Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.

Определите максимальную и минимальную денежные суммы, среди всех возможных итоговых сумм, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю клетку маршрута.

В ответе укажите два числа - сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N * N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.

Пример входных данных

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1EwwvcqNdV4EVnMUKJMAmYZ6taylaOri7/edit?gid=1897805079#gid=1897805079

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, четыре камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21, 24 или 40 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 58 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 57$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, четыре камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21, 24 или 40 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 58 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 57$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

- Петя не может выиграть за один ход;

- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, четыре камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21, 24 или 40 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 58 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 57$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

- У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- У Вани нет стратегии, которая позволяет ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.

В файле содержится информация о совокупности $N$ вычислительных процессов, которые могут выполняться параллельно или последовательно. Приостановка выполнения процесса не допускается. Будем говорить, что процесс $B$ зависит от процесса $A$, если для выполнения процесса $B$ необходимы результаты выполнения процесса $A$. В этом случае процессы $A$ и $B$ могут выполняться только последовательно.

Информация о процессах представлена в файле в виде таблицы. В первом столбце таблицы указан идентификатор процесса (ID), во втором столбце таблицы – время его выполнения в миллисекундах, в третьем столбце перечислены с разделителем «;» ID процессов, от которых зависит данный процесс. Если процесс независимый, то в таблице указано значение 0.

Типовой пример организации данных в файле

Определите максимальную продолжительность отрезка времени (в мс), в течение которого возможно одновременное выполнение максимального количества процессов при условии, что все независимые друг от друга процессы могут выполняться параллельно и на выполнение всей совокупности процессов затрачено минимальное время.

Типовой пример имеет иллюстративный характер. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/18ntpBJGULt4akWzM6GHqzx1Y9QR53HTx/edit?usp=sharing&ouid=107292831694758389216&rtpof=true&sd=true

У исполнителя есть две команды, которые обозначены латинскими буквами:

А. Вычти 2

В. Найди целую часть от деления на 2

Первая из них уменьшает число на экране на 2, вторая заменяет число на экране на целую часть от деления числа на 2.

Программа для исполнителя - это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 28 результатом является число 1, и при этом траектория вычислений содержит число 12?

Траектория вычислений программы - это последовательность результатов выполнения всех команд программы.

Например, для программы ABB при исходном числе 13 траектория состоит из чисел 11, 5, 2.

Текстовый файл состоит из заглавных букв латинского алфавита $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$. Определите минимальное количество идущих подряд символов в прилагаемом файле, среди которых пара символов $CE$ (в указанном порядке) встречается ровно 230 раз.

Для выполнения этого задания следует написать программу.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/1u5ZJWUAqk945F6yWPezmSORWif-cGaKo/view?usp=sharing

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 600000 в порядке возрастания и ищет среди них такие, у которых есть натуральный делитель, оканчивающиеся на цифру 9 и неравный ни самому числу, ни числу 9.

В ответе запишите в первой строке таблицы первые пять найденных чисел в порядке возрастания, а во втором столбце - наименьший делитель для каждого из них, оканчивается цифрой 9, неравный ни самому числу, ни числу 9.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Во время сессии студенты сдают 4 экзамена, за каждый из которых можно получить от 2 до 5 баллов. Студенты, получившие хотя бы одну «двойку», считаются не сдавшими сессию. Результаты сессии публикуются в виде рейтингового списка, в котором сначала указаны идентификационные номера студентов (ID), сдавших сессию, в порядке убывания среднего балла за сессию, а в случае равенства средних баллов – в порядке возрастания ID. Затем располагаются ID студентов, не сдавших сессию: сначала – получивших одну «двойку», затем – две «двойки», потом ID студентов с тремя «двойками» и, наконец, ID студентов, получивших по 2 балла за каждый из экзаменов. Если студенты имеют одинаковое количество «двоек», то их ID в рейтинге располагаются в порядке возрастания.
Повышенную стипендию получают студенты, занявшие в рейтинговом списке первые 25 % мест, при условии отсутствия у них «двоек». Гарантируется, что без «двоек» сессию сдали не менее 25 % студентов.
Если средний балл одинаковый, то получает стипендию тот, у кого меньше ID. Необходимо определить ID последнего студента, который получит стипендию, и какой наименьший ID имеет студент с более чем двумя оценками "2".
В ответе запишите два целых положительных числа: сначала ID последнего студента, который получит стипендию, потом наименьший ID студента с более чем двумя оценками "2".

Входные данные

В первой строке входного файла находится число $N$, обозначающее количество студентов (целое положительное число, не превышающее 10000). Каждая из следующих $N$ строк содержит 5 чисел через пробел: ID студента (целое положительное число, не превышающее 100000) и четыре оценки, полученные им за сессию. Гарантируется, что общее число студентов $N$ кратно 4 и хотя бы один студент имеет более двух «двоек». Во входном файле все ID различны.

Два натуральных числа: искомые ID студентов в порядке, указанном в условии задачи.

Типовой пример организации данных во входном файле

8

4 4 4 4 4

7 5 5 5 2

10 3 4 4 5

1 4 4 4 3

6 3 5 5 3

2 2 2 2 2

13 2 2 2 3

3 3 3 3 3

При таких исходных данных рейтинговый список ID имеет вид: 4 6 10 1 3 7 13 2. Ответ: 6 13.

Типовой пример имеет иллюстративный характер. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/11KzQQRtfDaXkUn3uXNp9zCdVMUe5nS8t/view?usp=sharing

Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на $N$ непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких что точки каждого подмножества лежат внутри прямоугольника со сторонами длиной $H$ и $W$, причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям. Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Будем называть центром кластера точку этого кластера, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости$A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d(A, B) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

В файле A хранятся координаты точек двух кластеров, где $H = 6$, $W = 6$ для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении на карте одной точки: сначала координата $x$, затем координата $y$. Известно, что количество точек не превышает 1000.

В файле B хранятся координаты точек трёх кластеров, где $H = 5$, $W = 5$ для каждого кластера. Известно, что количество точек не превышает 10000. Структура хранения информации в файле B аналогична файлу А.

Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: $P_x$ – среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и $P_y$ – среднее арифметическое ординат центров кластеров.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала абсолютное значение целой части произведения $P_x * 10 000$, затем абсолютное значение целой части произведения $P_y * 10 000$ для файла А, во второй строке – аналогичные данные для файла B.

Возможные данные одного из файлов проиллюстрированы графиком.

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющих отношения к заданию. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

Файл А к заданию: https://drive.google.com/file/d/1BJ0dd8PDT78mnIKc0Uy5FpDUfnjvfN80/view?usp=drive_link

Файл B к заданию: https://drive.google.com/file/d/16VAMtl1R4Z-TXOW9Sy0Fu2Qw23ALvgQS/view?usp=drive_link

На рисунке схема дорог $N$-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о протяженности каждой из этих дорог (в километрах). Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, нумерация населенных пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе.

Определите, какова сумма протяженности дорог из пункта C в пункт G и из пункта H в пункт B. В ответе запишите целое число.

Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F=z →(¬(y →x)) ∨w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w, x, y, z$.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w, x, y, z$.

В ответе напишите буквы $w, x, y, z$ в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

В файле приведён фрагмент базы данных «Кондитерские изделия» о поставках конфет и печенья в магазины районов города. База данных состоит из трёх таблиц.

Таблица «Движение товаров» содержит записи о поступлении товаров со склада в магазины в течение августа 2023 г., а также информацию о проданных товарах. Поле Тип операции содержит значение Поступление или Продажа, а в соответствующее поле Количество упаковок, шт. внесена информация о том, сколько упаковок товара поступило в магазин или было продано в течение дня. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Товар» содержит информацию об основных характеристиках каждого товара. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Магазин» содержит информацию о местонахождении магазинов. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

На рисунке приведена схема указанной базы данных.

Используя информацию из приведённой базы данных, определите общую выручку от продажи всех видов карамели магазинов Октябрьского района за период с 9 по 20 августа включительно.

В ответе запишите только число.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1VhcusnvOGabhJt9MAeAwEdiqDT_DbXnN/edit?usp=drive_link&ouid=104822851580865398914&rtpof=true&sd=true

По каналу связи передаются шифрованные сообщения, содержащие только десять букв: А, Б, Е, И, К, Л, Р, С, Т, У. Для передачи используется неравномерный двоичный код. Для девяти букв используются кодовые слова:

Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы К, при котором код будет удовлетворять условию Фано. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

На вход алгоритма подается натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа $N$.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а затем два левых разряда заменяются на 10;

б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа $R$.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Например, для исходного числа$6_{10} = 110_{2}$ результатом является число$1000_{2} = 8_{10}$, а для исходного числа$4_{10} = 100_{2}$результатом является число$1101_{2} = 13_{10}$.

Укажите минимальное число $R$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, большее 50. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует 6 команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Вперёд $\textbf n$ (где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение Черепахи на $n$ единиц в том направлении, куда указывает её голова; Назад $\textbf n$(где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов по часовой стрелке, Налево $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов против часовой стрелки.

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 9 [Вперёд 29 Направо 90 Вперёд 17 Направо 90]

Поднять хвост

Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 1 Налево 90

Опустить хвост

Повтори 9 [Вперёд 64 Направо 90 Вперёд 48 Направо 90].

Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.

Прибор автоматической фиксации нарушений правил дорожного движения делает цветные фотографии размером $1024\times960$ пикселей, используя палитру из 8192 цветов. Снимки сохраняются в памяти камеры, группируются в пакеты по 160 шт., затем передаются в центр обработки информации со скоростью передачи данных 14680064 бит/с. Сколько секунд требуется для передачи одного пакета фотографий? В ответе запишите целую часть полученного числа.

Определите количество пятизначных девятеричных чисел, в которых цифра 0 встречается ровно один раз, и 0 не стоит рядом с нечетными цифрами.

Откройте файл электронной таблицы, содержащий в каждой строке четыре натуральных числа. Определите количество строк таблицы, содержащих числа, для которых выполнены оба условия:

- наибольшее из четырёх чисел меньше суммы трёх других;

- в строке есть только одна пара равных чисел.

В ответе запишите только число.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1PMYFgkuYLi9Ri6-sXvvaDBemdt6IEqVL/edit?usp=drive_link&ouid=104822851580865398914&rtpof=true&sd=true

На предприятии каждой изготовленной детали присваивают серийный номер, содержащий 26 латинских букв (включая строчные и заглавные буквы), десятичные цифры и символы из 34 - символьного специального алфавита. В базе данных для хранения каждого серийного номера отведено одинаковое и минимально возможное число байт. При этом используется посимвольное кодирование серийных номеров, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Известно, что для хранения 1142 серийных номеров отведено более 315 Кбайт памяти. Определите минимально возможную длину серийного номера.

В ответе запишите только целое число.

В терминологии сетей ТСР/IP маской сети называют двоичное число, которое показывает, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая - к адресу узла в этой сети. Адрес сети получается в результате применения поразрядной конъюнкции к заданному адресу узла и его маске. Широковещательным адресом называется специализированный адрес, в котором на месте нулей в маске стоят единицы. Адрес сети и широковещательный адрес не могут быть использованы для адресации сетевых устройств.

Сеть задана IP-адресом 187.27.234.0 и маской сети 255.255.248.0.

Сколько в этой сети IP-адресов, для которых количество единиц в двоичной записи IP-адреса не кратно 3? В ответе укажите только число.

Значение арифметического выражения $7^{150} - 7^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в пятеричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в пятеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится максимальное количество нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». На числовой прямой дан отрезок $B = [80,100]$. Для какого наибольшего натурального числа $A$ формула

$ДЕЛ(x, A) ∨((x ∈B) →¬ДЕЛ(x, 21))$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом целом положительном значении переменной $x$)?