Банк заданий
ЕГЭ по информатике

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21 или 40 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 137. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 137 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 136$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите минимальное $S$, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

 — Петя не может выиграть за один ход;

 — Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21 или 40 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 137. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 137 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 136$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

 — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

 — у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

В файле содержится информация о совокупности $N$ вычислительных процессов, которые могут выполняться параллельно или последовательно. Приостановка выполнения процесса не допускается. Будем говорить, что процесс $B$ зависит от процесса $A$, если для выполнения процесса $B$ необходимы результаты выполнения процесса $A$. В этом случае процессы $A$ и $B$ могут выполняться только последовательно.

Информация о процессах представлена в файле в виде таблицы. В первом столбце таблицы указан идентификатор процесса (ID), во втором столбце таблицы – время его выполнения в миллисекундах, в третьем столбце перечислены с разделителем «;» ID процессов, от которых зависит данный процесс. Если процесс независимый, то в таблице указано значение 0.

Типовой пример организации данных в файле

Определите минимальное время, через которое завершится выполнение всей совокупности процессов, при условии, что все независимые друг от друга процессы могут выполняться параллельно.

Типовой пример имеет иллюстративный характер. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1mmK36IHEfsgzM6aG5R-yl4O_p5rPW9Sx/edit?usp=sharing&ouid=107292831694758389216&rtpof=true&sd=true

Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды, которым присвоены буквы:

 А. Вычти 2

 В. Найди целую часть от деления на 2

Первая из них уменьшает число на экране на 2, вторая заменяет число на экране на целую часть от деления числа на 2.

Программа для исполнителя - это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 40 результатом является число 2, и при этом траектория вычислений содержит число 14?

Траектория вычислений программы - это последовательность результатов выполнения всех команд программы.

Например, для программы АВА при исходном числе 13 траектория состоит из чисел 11, 5, 3.

Текстовый файл состоит из символов $R$, $Q$, $S$ и $R$. Определите максимальное количество идущих подряд символов в прилагаемом файле, среди которых нет $Q$, стоящих рядом.

Для выполнения этого задания следует написать программу.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/1Lf4fF7t9uoSd9i6H6yTG9rHwYAP9kcJ1/view?usp=drive_link

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих$10^8$, найдите все числа, соответствующие маске 1234*56, которые делятся нацело на 108.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце - эти числа, деленные на 108.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

В супермаркете проводится акция «каждый четвертый товар в чеке за полцены». Покупатель расположил товары на ленте так, чтобы заплатить за покупку несколькими чеками как можно меньше с учетом проходящей акции. Известно, что кассовый аппарат сортирует покупки так, чтобы условие акции соблюдалось и при этом итоговая стоимость покупки была максимально возможной.

Входные данные

В первой строке входного файла находится число $N$ – количество товаров, которые хочет оплатить покупатель (натуральное число, не превышающее 10000). В следующих $N$ строках находятся числа, обозначающие цены товаров, которые выбрал покупатель (все числа натуральные, на превышающие 10000), каждое – в отдельной строке. Цены товаров указаны в произвольном порядке.

Выходные данные

Запишите в ответе два целых числа: сначала сумму, которую заплатит покупатель, а затем сумму, которую он заплатит, если купит все товары одним чеком.

Типовой пример организации данных во входном файле

4

80

30

50

40

При таких исходных данных, если «каждый второй товар в чеке за полцены», сумма в нескольких чеках и в одном будут: 160 и 165.

Типовой пример имеет иллюстративный характер. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемых файлов.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/1bKHmmyiiWvhKb-UDfUUqoGZ74He-cKII/view?usp=drive_link

Артём проводил исследование среди своих учеников. Он взял результаты каждого ученика по первым двум пробникам и по этим двум значениям, делённым на 10, расставил точки на диаграмме. Таким образом, получилось текущее расположения учеников в их подготовке к ЕГЭ по информатике. После Артём решил провести кластеризацию полученных точек, то есть разбить их множество на $N$ непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких что точки каждого подмножества лежат внутри прямоугольника со сторонами длиной $H$ и $W$, причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям. Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.
Будем называть центром кластера точку этого кластера, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости$A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d(A, B) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

В файле A хранятся данные о двух кластеров результатов, где $H=3$, $W=3$ для каждого кластера. В каждой строке записана информация о результатах пробников одного ученика: сначала первого, затем второго. Известно, что количество учеников не превышает 1000.

В файле B хранятся данные о трёх кластеров результатов, где $H=3$, $W=3$ для каждого кластера. Известно, что количество учеников не превышает 10000. Структура хранения информации о звездах в файле B аналогична файлу А. 

Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: $P_x​$ – среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и  $P_y$​ – среднее арифметическое ординат центров кластеров.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть произведения $P_x*100$, затем целую часть произведения $P_y*100$ для файла А, во второй строке – аналогичные данные для файла B.

Возможные данные одного из файлов иллюстрированы графиком. 

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющих отношения к заданию. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

Файл А к заданию: https://drive.google.com/file/d/1tnMQOQLkbcMh-E5SuXQc8OU-2t5MMKf-/view?usp=drive_link

Файл B к заданию: https://drive.google.com/file/d/1nxteQ3avQIYG9lMcRNgQTWCU0-rJKovH/view?usp=drive_link

На рисунке схема дорог $N$-ского района. В таблице звездочкой обозначено наличие дороги из одного населённого пункта в другой. Отсутствие звездочки означает, что такой дороги нет. Каждому населенному пункту на схеме соответствует номер в таблице, но неизвестно, какой именно номер.

Определите, какие номера в таблице могут соответствовать населенным пунктам E и F на схеме. В ответе запишите эти два номера в возрастающем порядке без пробелов и знаков препинания.

Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F =(x∧¬y)∨(y ≡z)∨¬w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w, x, y, z$.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w, x, y, z$.

В ответе напишите буквы $w, x, y, z$ в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

В файле приведен фрагмент базы данных «Продукты» о поставках товаров в магазины районов города. База данных состоит из трех таблиц.

Таблица «Движение товаров» содержит записи о поставках товаров в магазины в течение первой декады июня 2021 г., а также информацию о проданных товарах. Поле Тип операции содержит значение Поступление или Продажа, а в соответствующее поле Количество упаковок внесена информация о том, сколько упаковок товара поступило в магазин или было продано в течение дня. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Товар» содержит информацию об основных характеристиках каждого товара. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Магазин» содержит информацию о местонахождении магазинов. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

На рисунке приведена схема указанной базы данных.

Используя информацию из приведённой базы данных, определите, какую выручку (в рублях) от продажи конфет «Клюква в сахаре» получили магазины Промышленного района, за период с 1 по 15 июня включительно.

В ответе запишите только число.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1R-jTjV_PXJO9ZiCHAXbVrqGHN1kUMjWG/edit?usp=drive_link&ouid=109918313430926500890&rtpof=true&sd=true

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только восемь букв: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и З. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны:

Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования двух оставшихся букв?

В ответе запишите суммарную длину кодовых слов для букв: Ж, З.

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

На вход алгоритма подается натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.

Строится троичная запись числа $N$. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число $N$ делится на 3, то к этой записи дописываются три последние троичные цифры;

б) если число $N$ на 3 не делится, то остаток от деления умножается на 3, переводится в троичную запись и дописывается в конец числа.

Полученная таким образом запись является троичной записью искомого числа $R$.

Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Укажите максимальное число $R$, не превышающее 138, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует 6 команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Вперёд $\textbf n$ (где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение Черепахи на $n$ единиц в том направлении, куда указывает её голова; Назад $\textbf n$(где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов по часовой стрелке, Налево $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов против часовой стрелки.

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 2 [Вперёд 8 Направо 90 Вперёд 18 Направо 90]

Поднять хвост

Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 10 Налево 90

Опустить хвост

Повтори 2 [Вперёд 17 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90].

Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.

Сколько секунд потребуется обычному модему, передающему сообщения со скоростью 12000 бит/с, чтобы передать цветные растровое изображение размером $800\times480$ пикселей, при условии, что цвет каждого пикселя кодируется 2 байтами?

Сколько существует восьмеричных пятизначных чисел, не содержащих в своей записи цифру 1, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?

Откройте файл электронной таблицы, содержащей в каждой строке семь натуральных чисел. Определите количество строк таблицы, для чисел которых выполнены оба условия:

- в строке есть два числа, каждое из которых повторяется дважды, остальные три числа различны;

- среднее арифметическое всех повторяющихся чисел строки больше среднего арифметического всех её чисел.

В ответе запишите только число.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1MfJepzU0wr-ts3oSMWNZa9M55bLwwnpp/edit?usp=drive_link&ouid=109918313430926500890&rtpof=true&sd=true

При регистрации в компьютерной системе каждому объекту присваивается идентификатор, состоящий из 93 символов и содержащий только десятичные цифры и символы из 1200-символьного специального алфавита. В базе данных для хранения каждого идентификатора отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используется посимвольное кодирование идентификаторов, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Определите объём памяти (в Кбайт), необходимый для хранения 16384 идентификаторов.

В ответе запишите только целое число - количество Кбайт.

Исполнитель МТ представляет собой читающую и записывающую головку, которая может передвигаться вдоль бесконечной горизонтальной ленты, разделённой на равные ячейки. В каждой ячейке находится ровно один символ из алфавита исполнителя (множество символов $A=\{a_{0},a_{1},…,a_{n–1}\}$), включая специальный пустой символ $a_{0}$.

Время работы исполнителя делится на дискретные такты (шаги). На каждом такте головка МТ находится в одном из множества допустимых состояний $Q=\{q_{0},q_{1},…,q_{n–1}\}$. В начальный момент времени головка находится в начальном состоянии $q_{0}$.

На каждом такте головка обозревает одну ячейку ленты, называемую текущей ячейкой. За один такт головка исполнителя может переместиться в ячейку справа или слева от текущей, не меняя находящийся в ней символ, или заменить символ в текущей ячейке без сдвига в соседнюю ячейку. После каждого такта головка переходит в новое состояние или остаётся в прежнем состоянии.

Программа работы исполнителя МТ задаётся в табличном виде.

В первой строке перечислены все возможные символы в текущей ячейке ленты, в первом столбце – возможные состояния головки. На пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца находится команда, которую выполняет МТ, когда головка обозревает $j$-й символ, находясь в $i$-м состоянии. Если пара «символ – состояние» невозможна, то клетка для команды остаётся пустой.

Каждая команда состоит из трёх элементов, разделённых запятыми: первый элемент – записываемый в текущую ячейку символ алфавита (может совпадать с тем, который там уже записан). Второй элемент – один из четырёх символов $«L»$, $«R»$, $«N»$, $«S»$. Символы $«L»$ и $«R»$ означают сдвиг в левую или правую ячейки соответственно, $«N»$ – отсутствие сдвига, $«S»$ – завершение работы исполнителя МТ после выполнения текущей команды. Сдвиг происходит после записи символа в текущую ячейку. Третий элемент – новое состояние головки после выполнения команды.

Например, команда $0, L, q_{3}$ выполняется следующим образом: в текущую ячейку записывается символ $«0»$, затем головка сдвигается в соседнюю слева ячейку и переходит в состояние $q_{3}$.

Выполните задание

На ленте исполнителя МТ в соседних ячейках записана последовательность из 500 символов, включающая только нули и единицы. Ячейки справа и слева от последовательности заполнены пустыми символами $«λ»$. В начальный момент времени головка расположена в ближайшей ячейке слева от последовательности.

Программа работы исполнителя:

После выполнения программы на ленте осталось ровно 155 нулей. Определите минимально возможное число единиц в исходной последовательности.

В терминологии сетей ТСР/IP маской сети называют двоичное число, которое показывает, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая - к адресу узла в этой сети. Адрес сети получается в результате применения поразрядной конъюнкции к заданному адресу узла и его маске. Широковещательным адресом называется специализированный адрес, в котором на месте нулей в маске стоят единицы. Адрес сети и широковещательный адрес не могут быть использованы для адресации сетевых устройств.

Сеть задана IP-адресом 187.128.0.0 и маской сети 255.192.0.0.

Сколько в этой сети IP-адресов, для которых количество единиц в двоичной записи IP-адреса кратно 3? В ответе укажите только число.

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19: 

$98x79731_{19} + 36x14_{19}$

В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$(x + 2*y < A) ∨ (y > x) ∨ (x > 32)$

тождественно истинно ( т.е. принимает значение 1 ) при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ - натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 6$ при $n < 7$;

$F(n) = n + F(n-1)$, если $n >= 7$.

Чему равно значение выражения$F(2023)- F(2021)$?

В файле содержится последовательность натуральных чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от 1 до 100000 включительно. Определите количество троек элементов последовательности, в которых только одно из чисел является двузначным, а сумма элементов тройки не больше максимального элемента последовательности, оканчивающегося на 13. В ответе запишите количество найденных троек чисел, затем максимальную из сумм элементов таких троек. В данной задаче под тройкой подразумевается три идущих подряд элемента последовательности.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/1D44Yl0CqlCiJcv1wIRe8VIqmf6ZuJpno/view?usp=drive_link

Квадрат разлинован на $N * N$ клеток ($1 < N < 30$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вниз – в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.

Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.

В «угловых» клетках поля - тех, которые справа и снизу ограничены стенами, Робот не может продолжать движение, поэтому накопленная сумма считается итоговой. Таких конечных клеток на поле может быть несколько, включая правую нижнюю клетку поля. При разных запусках итоговые накопленные суммы могут различаться.

Определите максимальную и минимальную денежные суммы, среди всех возможных итоговых сумм, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в конечную клетку маршрута.

В ответе укажите два числа - сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N * N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.

Пример входных данных

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ukGpg-s3SqCvjyY8VBfrdZWA9_GTWrxN/edit?usp=drive_link&ouid=109918313430926500890&rtpof=true&sd=true