Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи два камня, убрать из кучи пять камней, или уменьшить количество камней в три раза (количество камней округляется в меньшую сторону). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 14. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 14 или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(30 ≤ S ≤ 180\). Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите значение \(S\), при котором одновременно выполняются два условия: -У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; -У Вани нет стратегии, которая позволяем ему гарантированно выиграть первых ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Программное решение: def game(score, step): if score <= 14: return step % 2 == 0 if step == 0: return 0 heap = [game(score - 2, step - 1), game(score - 5, step - 1), game(score // 3, step - 1)] if (step - 1) % 2 == 0: return any(heap) else: return all(heap) for s in range(30, 181): if game(s, 4) and not game(s, 2): print(s) Программный код выведет значения: 49, 52, 53, 141, 142. Наименьшее значение - 49.

Пусть \(M\) - сумма минимального и максимального простых натуральных делителей целого числа, не считая самого числа и единицы. Если таких делителей у числа нет, то значение \(M\) принимается равным нулю. Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 7500000 в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых \(M\) оканчивается на 31 и кратно общему количеству простых делителей числа. В ответе запишите в первом столбце таблицы первые пять найденных чисел в порядке возрастания, а во втором столбце - соответствующие им значения \(M\). Например, для числа 14 \(M = 2 + 7 = 9\). Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Программное решение: def find_divs(x): for i in range(2, int(x ** 0.5) + 1): if x % i == 0: return [i] + find_divs(x // i) return [x] c = 0 n = 7_500_001 while c < 5: divs = set(find_divs(n)) if divs: m = min(divs) + max(divs) if m % 100 == 31 and m % len(divs) == 0: print(n, m) c += 1 n += 1 Ответ: 7501464 34731 7501548 625131 7501754 288531 7502290 750231 7502654 3531.