Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень, добавить три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10,5). Тогда за один ход можно получить любую из шести позиций: (11,5), (13,5), (20,8), (10,6), (10,8), (10,10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 81 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче - \(S\) камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \le S \le 73\). Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S\), при котором такая ситуация возможна.

Программное решение: def game(x, y, step): if x + y >= 81: return step % 2 == 0 if step == 0: return 0 heap = [game(x + 1, y, step - 1), game(x + 3, y, step - 1), game(x * 2, y, step - 1), game(x, y + 1, step - 1), game(x, y + 3, step - 1), game(x, y * 2, step - 1)] return any(heap) for s in range(1, 74): if game(7, s, 2): print(s) break Ответ: 19.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень, добавить три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10,5). Тогда за один ход можно получить любую из шести позиций: (11,5), (13,5), (20,8), (10,6), (10,8), (10,10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 81 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче - \(S\) камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \le S \le 73\). Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите два наименьших значения \(S\), когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Программное решение: def game(x, y, step): if x + y >= 81: return step % 2 == 0 if step == 0: return 0 heap = [game(x + 1, y, step - 1), game(x + 3, y, step - 1), game(x * 2, y, step - 1), game(x, y + 1, step - 1), game(x, y + 3, step - 1), game(x, y * 2, step - 1)] if (step - 1) % 2 == 0: return any(heap) else: return all(heap) for s in range(1, 74): if game(7, s, 3) and not game(7, s, 1): print(s) Программный код выведет значения: 33, 35, 36. Два наименьших значения соответственно 33 и 35.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень, добавить три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10,5). Тогда за один ход можно получить любую из шести позиций: (11,5), (13,5), (20,8), (10,6), (10,8), (10,10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 81 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче - \(S\) камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \le S \le 73\). Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите значение \(S\), при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений \(S\), то в ответе напишите наименьшее из них.

Программное решение: def game(x, y, step): if x + y >= 81: return step % 2 == 0 if step == 0: return 0 heap = [game(x + 1, y, step - 1), game(x + 3, y, step - 1), game(x * 2, y, step - 1), game(x, y + 1, step - 1), game(x, y + 3, step - 1), game(x, y * 2, step - 1)] if (step - 1) % 2 == 0: return any(heap) else: return all(heap) for s in range(1, 74): if game(7, s, 4) and not game(7, s, 2): print(s) break Ответ: 32.