Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На доске написано $100$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $5120$.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число $230$?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа $14$?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных $14$, может быть на доске?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.

а) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 60$?

б) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 80$?

в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму $132$?

На доске написано $30$ натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно $3$, а каждое красное число кратно $7$. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395 = 3 + 6 +$... $+ 90$, если все числа на доске кратны $3$?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна $1067$?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна $1067$?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $365$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли $N$ быть равным $200$?

б) Может ли $N$ быть равным $109$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от $1$ до $12$. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна $32$.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна $29$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?