Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $6$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $2$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $5$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске записано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа $403$ и $2013$?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число $403$?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $1$ и квадрат натурального числа $n$, большего $1$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $60$ и меньше $140$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?

б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано $100$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $5120$.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число $230$?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа $14$?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных $14$, может быть на доске?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136: 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136$.

а) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 60$?

б) Можно ли получить сумму $132$, если $n = 80$?

в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму $132$?