Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе $№\,2$ средний балл равнялся $42$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№\,2$ изначально?
б) Каждый учащийся школы $№\,2$, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы $№\,1$. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы $№\,2$?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе $№\,1$ изначально?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $25\%$ от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $20\%$ от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $60\%$ от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $21\%$.
а) Может ли в этом классе быть $5$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S - B$.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $6$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $2$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $5$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?