Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры $4$ и $9$ (возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна $107$?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $289$?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна $3986$?

а) Можно ли представить число $2043$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число $599$ в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе $№\,1$ вырасти в $2$ раза?
б) Средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№\,2$ равняться $1$?
в) Средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№\,2$.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе $№\,2$ средний балл равнялся $42$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№\,2$ изначально?
б) Каждый учащийся школы $№\,2$, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы $№\,1$. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы $№\,2$?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе $№\,1$ изначально?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $25\%$ от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $20\%$ от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $60\%$ от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?