Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $1$, к каждому числу из второй группы — цифру $8$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $4$ раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $18$ раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в $11$ раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S$.

а) Может ли $S$ быть равной $16 \dfrac{5}{6}$?

б) Может ли $S$ быть равной $569 \dfrac{29}{126}$?

в) Найдите наибольшее целое значение $S$, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 200$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 320$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от $1$ до $340$ является суммой $S$ для некоторых четырехзначных чисел $A$ и $B$?

Из набора цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $5$, $7$ и $9$ составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны $45$.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться $2205$?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться $3435$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре? $144$

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A> 150$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \leqslant A< 600$?

в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.