Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} 2a\leq x,\\ 6x>x^2+a^2,\\ x+a\leq6 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} a(x-1)\geq4,\\ 2\sqrt{x-2}\geq a,\\ 3x<a+14 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на $10$, а затем к получившейся сумме прибавляют $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $224$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $314$?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$ за один ход можно получить пару $(a + 2; b - 1)$ или $(a - 1; b + 2)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(5; 7)$.

а) Можно ли за $50$ таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно $100$?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна $400$?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили $100$?

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a> b$, за один ход получают пару $(a+b; a-b)$.

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно $400$?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару $(806; 788)$? в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?