Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной $16$ см на куски длиной $1$ см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной $100$ см на куски длиной $1$ см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной $200$ см на куски длиной $1$ см?

Из правильной несократимой дроби $\dfrac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\dfrac{a+b}{2a+b}$.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\dfrac{2}{3}$ получить дробь $\dfrac{29}{41}$?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\dfrac{6}{7}$?

в) Несократимая дробь $\dfrac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\dfrac{c}{d}$, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода.

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a + b; 3b - a)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$?

б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a - c| + |b - d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Есть три коробки: в первой коробке $97$ камней, во второй — $104$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $97$ камней, во второй — $89$, а в третьей — $15$?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться $201$ камень?

в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на $6$?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть на доске?