В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^{∘}\), \(AB = 5\), \(BC = 4\). Найдите \(\cos A\).

По теореме Пифагора найдём катет \(AC\), прилежащий к углу \(A\): \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\). Косинус острого угла \(A\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \(\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\). Ответ: \(0{,}6\).

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}\), \(AB = 10\), \(AC = \sqrt{91}\). Найдите \(\sin A\).

По теореме Пифагора найдём катет \(BC\), противолежащий углу \(A\): \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{91})^2} = \sqrt{100 - 91} = \sqrt{9} = 3\). Синус острого угла \(A\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\). Ответ: \(0{,}3\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(60\). \(DE\) — средняя линия, параллельная стороне \(AB\). Найдите \(D E\) площадь трапеции \(ABED\).

Треугольники \(CDE\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом подобия \(k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{1}{2}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\). Значит, \(S_{CDE} = \dfrac{1}{4} \cdot 60 = 15\). Площадь трапеции \(ABED\) равна разности площадей большого треугольника и маленького: \(S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 60 - 15 = 45\). Ответ: \(45\).