Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $365$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли $N$ быть равным $200$?

б) Может ли $N$ быть равным $109$?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от $1$ до $12$. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна $32$.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна $29$?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на $5$ больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, $40$, $45$, $50$ удачная тройка.

а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа $50$, $60$ и ещё одно число, большее $60$?

б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно $15$?

в) Какое наибольшее количество чисел от $1$ до $100$ включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на $1001$ фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение семи дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение восьми дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше $40$ фотографий?

Есть $4$ камня, каждый массой $7$ тонн, и $9$ камней, каждый массой $22$ тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила $8$ тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?