В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. $C$ Угол $C$ равен $168^{∘}$. Угол $CBD$ внешний. Найдите величину угла $CBD$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Значит, треугольник равнобедренный с основанием $AB$, и углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle A = \angle B$, то: $2\angle B + 168^\circ = 180^\circ$, $2\angle B = 12^\circ$, $\angle B = 6^\circ$. Угол $CBD$ — внешний при вершине $B$. Внешний угол и внутренний угол при вершине $B$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $\angle CBD = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 6^\circ = 174^\circ$. Ответ: $174$.

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $2\sqrt{3}$, угол $C$ равен $120^{∘}$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

По теореме синусов для треугольника $ABC$: $\dfrac{AB}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Подставим известные значения: $AB = 2\sqrt{3}$, $\angle C = 120^\circ$. $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда: $2R = \dfrac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = 4$. Отсюда: $R = \dfrac{4}{2} = 2$. Ответ: $2$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $28$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

Пусть площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S = 28$. Точка $E$ — середина стороны $AD$, значит $AE = ED = \dfrac{1}{2} AD$. Рассмотрим треугольник $ABE$. Его основание $AE$ составляет половину основания $AD$ параллелограмма, а высота, опущенная из вершины $B$ на $AD$, такая же, как высота параллелограмма к стороне $AD$. Поэтому площадь треугольника $ABE$ равна четверти площади параллелограмма: $S_{ABE} = \dfrac{1}{4} S = \dfrac{1}{4} \cdot 28 = 7$. Площадь трапеции $BCDE$ равна разности площадей параллелограмма и треугольника $ABE$: $S_{BCDE} = S - S_{ABE} = 28 - 7 = 21$. Ответ: $21$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $37$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

Пусть площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S = 37$. Точка $E$ — середина стороны $AD$, значит $AE = ED = \dfrac{1}{2} AD$. Рассмотрим треугольник $ABE$. Его основание $AE$ составляет половину основания $AD$ параллелограмма, а высота, опущенная из вершины $B$ на $AD$, такая же, как высота параллелограмма к стороне $AD$. Поэтому площадь треугольника $ABE$ равна четверти площади параллелограмма: $S_{ABE} = \dfrac{1}{4} S = \dfrac{1}{4} \cdot 37 = 9{,}25$. Ответ: $9{,}25$.

Стороны параллелограмма равны $24$ и $27$. Высота, $B C$ опущенная на меньшую из этих сторон, равна $18$. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 24$ (меньшая) и $b = 27$ (большая). Высота $h_a$, опущенная на меньшую сторону $a = 24$, равна $18$. Площадь параллелограмма $S$ можно найти через сторону $a$ и высоту $h_a$: $S = a \cdot h_a = 24 \cdot 18 = 432$. Теперь найдём высоту $h_b$, опущенную на большую сторону $b = 27$, используя ту же площадь: $S = b \cdot h_b$, $432 = 27 \cdot h_b$, $h_b = \dfrac{432}{27} = 16$. Ответ: $16$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 360 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 626661 балл
Треугольники
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. $C$ Угол $C$ равен $168^{∘}$ . Угол $CBD$ внешний. Найдите величину угла $CBD$ . Ответ дайте в градусах.
id 626671 балл
Треугольники
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $2\sqrt{3}$ , угол $C$ равен $120^{∘}$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
id 626681 балл
Четырёхугольники
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $28$ . Точка $E$ — середина стороны $AD$ . Найдите площадь трапеции $BCDE$ .
id 626691 балл
Четырёхугольники
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $37$ . Точка $E$ — середина стороны $AD$ . Найдите площадь треугольника $ABE$ .
id 626701 балл
Четырёхугольники
Стороны параллелограмма равны $24$ и $27$ . Высота, $B C$ опущенная на меньшую из этих сторон, равна $18$ . Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.