Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Для начала заметим, что никаких ограничений в системе нет, все уравнения имеют смысл при любых значениях переменных. Второе уравнение системы представляет собой множество прямых, параллельных прямой $y=3x$, коэффициент $a$ в которых отвечает за подъем графика по направлению оси ординат. Первое же уравнение являет собой объединение двух графиков, первый $y=x−7$, второй - $xy=x−7$. Заметим, что при $x=0$ второе уравнение не имеет решений, а значит на $x$ можно поделить, и мы получим уравнение гиперболы $y=\frac{x-7}{x}=-\frac{7}{x}+1$ с асимптотами $y=1$ и $x=0$. Найдем точки пересечения прямой $y=x−7$ и гиперболы $y=-\frac{7}{x}+1$
$x-7=\frac{x-7}{x}\\ (x-7)\left(1-\frac{1}{x}\right)=0$
Получаем две точки: $x=1$, $y=−6$ и $x=7$, $y=0$.

Будем рассматривать значения параметра от минус бесконечности, увеличивая его значение, пока количество решений системы не будет меняться: при очень маленьких значениях параметра, пока прямая $y=3x+a$ не пройдет через точку $A(7;0)$, мы будем иметь три пересечения. Через точку $A$ прямая пройдет при значении параметра $a=y−3x=−21$. Далее мы снова будем получать три пересечения, пока не пройдем через точку $B(1;−6)$, что случится при значении параметра $a=−6−3=−9$. После чего у нас все так же будет три пересечения, пока мы не пройдем через точку $C$ касания прямой $y=3x+a$ с гиперболой. Увеличивая дальше значение параметра, получим одно пересечение, пока прямая не будет снова касаться гиперболы, теперь уже в точке $D$. При дальнейшем увеличении значения параметра будем получать три пересечения.

Осталось только найти координаты точек касания прямой и гиперболы. В точке касания значение производной гиперболы должно равняться угловому коэффициенту прямой:

$y'=\dfrac{7}{x^2}=3\\ x=\pm\sqrt{\dfrac{7}{3}}$

Тогда координаты точки $C$ и соответствующего ей значения параметра

$x=\sqrt{\frac{7}{3}}$, $y=-7\sqrt{\frac{3}{7}}+1=1-\sqrt{21}$, $a=y-3x=1-\sqrt{21}-3\sqrt{\frac{7}{3}}=1-2\sqrt{21}$. 

А точки $D$: $x=-\sqrt{\frac{7}{3}}$, $y=7\sqrt{\frac{3}{7}}+1=1+\sqrt{21}$, $a=y-3x=1+\sqrt{21}+3\sqrt{\frac{7}{3}}=1+2\sqrt{21}$. Тогда ответом будут четыре значения параметра $\{-21;-9;1-2\sqrt{21};1+2\sqrt{21}\}$.
 

Ответ: $\{-21;-9;1-2\sqrt{21};1+2\sqrt{21}\}$