Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Избавимся от логарифмов, записав ограничения, причем на правую часть их писать необязательно, так как в процессе решения они будут выполняться автоматически:
$\begin{cases} 36-y^{2} =36-a^{2} x^{2}\\ 36-y^{2}  >0\\ x^{2} +y^{2} =2x+6y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ( y-ax)( y+ax) =0\\ y\in ( -6;6)\\ x^{2} +y^{2} =2x+6y \end{cases}$
1) Пусть $y=ax$, подставим это в нижнее уравнение: $x^{2} +a^{2} x^{2} -2x-6ax=0\Leftrightarrow x( x+a^{x} -2-6a) =0\Leftrightarrow x=0\ и\ y=0,или\ x=\frac{2+6a}{a^{2} +1} \ и\ y=\frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1}$
2) Пусть $y=-ax$, аналогично подставим и получим:

$x( x+ax-2+6a) =0\Leftrightarrow x=0\ и\ y=0,или\ x=\frac{2-6a}{a^{2} +1} \ и\ y=\frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1}$
Получили, что система имеет три решения:
1) $( 0;0) ;2) \ (\frac{2+6a}{a^{2} +1} ;\frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1}) ;3) \ (\frac{2-6a}{a^{2} +1} ;\frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1})$.

По условию же нам необходимо ровно два различных решения. $( 0;0)$ решение при любом $a$, которое удовлетворяет ограничениям. Запишем ограничения на вторую точку:
$\begin{cases} \frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1}  >-6\\ \frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1} < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a^{2} +a+3 >0\ ( D< 0)\\ a< 3 \end{cases}$
Аналогично рассмотрим ограничения на 3 точку:
$\begin{cases} \frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1}  >-6\\ \frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1} < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 12a^{2} -2a+6 >0\ ( D< 0)\\ a >-3 \end{cases}$
Теперь нужно проверить совпадения между корнями. Проверим (1) и (2) корни на совпадение:
$\begin{cases} \frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1} =0\\ \frac{2a+6a}{a^{2} +1} =0 \end{cases} \Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}$
То есть при $a=-\frac{1}{3}$, есть совпадение 1-го и 2-го корней. Теперь проверим на совпадение 1-ый и 3-ий корни:

$\begin{cases} \frac{2-6a}{a^{2} +1} =0\\ \frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1} =0 \end{cases} \Leftrightarrow a=\frac{1}{3}$
То есть при $a=\frac{1}{3}$ есть совпадение 1-го и 3-го корней. Теперь проверим совпадение 2-го и 3-го корней, приравняем сразу числители, поскольку у них одинаковые ненулевые знаменатели:

$\begin{cases} 2+6a=2-6a\\ 2a+6a^{2} =6a^{2} -2a \end{cases} \Leftrightarrow a=0$ То есть при $a=0$ есть совпадение 2-го и 3-го корней.

Из анализа выше можно сказать, что мы имеем два корня при $a\in ( -\infty ,-3]$, поскольку в точке -3 третьего корня уже не существует, два корня при $a=-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}$ и при $a\in [ 3,+\infty )$.

Ответ: $a\in ( -\infty ,-3] \cup \{-\frac{1}{3}\} \cup \{0\} \cup \{\frac{1}{3}\} \cup [ 3,+\infty )$.