Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

$\begin{cases} 2x-x^{2} =2ay-a^{2} y^{2}\\ 2x-x^{2} \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2} -2x+2ay-a^{2} y^{2} =0\\ 2x-x^{2} \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2( ay-x) -( ay-x)( ay+x) =0\\ 2x-x^{2} \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases} ( ay-x)( 2-ay-x) =0\\ x( 2-x) \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x=ay\\ x=2-ay \end{array} \right.\\ x\geq 0\\ x\leq 2\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x=ax^{2}\\ x=2-ax^{2} \end{array} \right.\\ x\geq 0\\ x\leq 2\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x( ax-1) =0\\ ax^{2} +x-2=0 \end{array} \right.\\ x\geq 0\\ x\leq 2\\ y=x^{2} \end{cases}$
Найдем корни уравнения $ax^{2} +x-2=0$:
$D=1+8a\Rightarrow x_{1} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} ,x_{2} =\frac{-1-\sqrt{1+8a}}{2a}$ Получаем систему:
$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x_{1} =0\\ x_{2} =\frac{1}{a}\\ x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}\\ x_{4} =\frac{-1-\sqrt{1+8a}}{2a} \end{array} \right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\geq 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\leq 2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=x^{2} \end{cases}$

Так как по условию $a >0$, то случай $a=0$ рассматривать не будем.
Начнем смотреть принадлежность корней условию $\begin{cases} x\geq 0\\ x\leq 2 \end{cases} \Rightarrow x_{1} =0$ - принадлежит этому интервалу, 1 корень есть. $x_{2} =\frac{1}{a} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{a} \geq 0\\ \frac{1}{a} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow a\geq \frac{1}{2}\\ x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Rightarrow \begin{cases} \frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \geq 0\\ \frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \leq 2 \end{cases}$

По условию $a >0$, можем умножить обе части на знаменатель: $\begin{cases} -1+\sqrt{1+8a} \geq 0\\ -1+\sqrt{1+8a} \leq 4a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{1+8a} \geq 1\\ \sqrt{1+8a} \leq 4a+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a >0\ ( по\ условию\ a >0)\\ 1+8a\leq 16a^{2} +8a+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a >0\\ 16a^{2} \geq 0 \end{cases} \Rightarrow a\geq 0\\ x_{4} < 0 ~всегда ~при~ a >0$

Проверим совпадение корней: $x_{1} =0$ и $x_{2} =\frac{1}{a}$ никогда не совпадают.

Проверим совпадение $x_{1} =0$ и $x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Leftrightarrow 0=\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Leftrightarrow a=0$ - не подходит по условию.

Проверим совпадение $x_{2} =\frac{1}{a}$ и $x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Leftrightarrow -1+\sqrt{1+8a} =2\Leftrightarrow \sqrt{1+8a} =3\Leftrightarrow 1+8a=9\Leftrightarrow a=1$.

Исходя из предыдущих размышлений о существовании корней: $x_{1}$ всегда, $x_{2}$ при $a\geq \frac{1}{2}$, $x_{3}$ при $a >0,x_{4}$ никогда, совпадение при $a=1$.
Делаем вывод, что $a\in [\frac{1}{2} ;1) \cup ( 1,+\infty )$
Ответ: $a\in [\frac{1}{2} ;1) \cup ( 1,+\infty )$