Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Каждое решение уравнения
$\left( x^2 - 5x - y + 3 \right) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0$
либо является решением уравнения $x - y + 3 = 0$, откуда $y = x + 3$,
либо является решением системы:
$\begin{cases} x^2 - 5x - y + 3 = 0, \\ x - y + 3 \geq 0, \end{cases}$
откуда $y = x^2 - 5x + 3$ при условии $x - y + 3 \geq 0$.
Для каждого из этих случаев подставим $y = 3x + a$ и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от $a$.
Первый случай:
$3x + a = x + 3$, откуда $x = \frac{3 - a}{2}$.
Второй случай:
$3x + a = x^2 - 5x + 3$ при условии $0 \leq x \leq 6$.
Получаем квадратное уравнение $x^2 - 8x - a + 3 = 0$.
Дискриминант этого уравнения равен
$64 + 4(a - 3) = 4(a + 13)$.
Значит, уравнение $x^2 - 8x - a + 3 = 0$ имеет два корня при $a > -13$,
имеет единственный корень $x = 4$ при $a = -13$
и не имеет корней при $a < -13$.
При $a > -13$ функция $f(x) = x^2 - 8x - a + 3$ принимает наименьшее значение при $x = 4$, и это значение отрицательно.
Следовательно, больший корень уравнения $f(x) = 0$ удовлетворяет условию $0 \leq x \leq 6$ тогда и только тогда, когда
$f(6) \geq 0$; $-a - 9 \geq 0$, откуда $a \leq -9$.
Аналогично меньший корень уравнения $f(x) = 0$ удовлетворяет условию $0 \leq x \leq 6$ тогда и только тогда, когда
$f(0) \geq 0$; $-a + 3 \geq 0$, откуда $a \leq 3$.
Число $\frac{3 - a}{2}$ является корнем квадратного уравнения $f(x) = 0$ при
$\left( \frac{3 - a}{2} \right)^2 - 4(3 - a) - a + 3 = 0,$
откуда
$\left( \frac{a - 3}{2} \right)^2 + 3(a - 3) = 0; \quad (a - 3)(a + 9) = 0,$
то есть при $a = 3$ и при $a = -9$.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при $a = -13$; $-9 \leq a < 3$.
Ответ: $a = -13;\ -9 \leq a < 3$.