Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Рассмотрим кусочно-линейную функцию $y = |x - a^2| + |x + 1|$.
При $x < -1$ имеем $y = -2x + a^2 - 1$, при $-1 \leq x < a^2$ имеем $y = a^2 + 1$, при $x \geq a^2$ имеем $y = 2x - a^2 + 1$. На промежутке $(-\infty; -1]$ функция убывает, $y(-1) = a^2 + 1$; на промежутке $[ -1; a^2 ]$ функция принимает постоянное значение $a^2 + 1$; на промежутке $[a^2; +\infty)$ функция возрастает, $y(a^2) = a^2 + 1$.
Таким образом, значение $y = a^2 + 1$ принимается при всех $x$ таких, что $-1 \leq x \leq a^2$; значения $y < a^2 + 1$ не принимаются ни при каких $x$, а каждое из значений $y > a^2 + 1$ принимается при двух различных $x$.
Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться следующие условия: на промежутке $(a^2 + 1; +\infty)$ уравнение $y^2 - 7y + 4a^2 + 4 = 0$ должно иметь ровно один корень, причём число $a^2 + 1$ не должно являться корнем этого уравнения.
Эти условия выполнены в двух случаях.
В первом случае уравнение $y^2 - 7y + 4a^2 + 4 = 0$ имеет единственный корень, причём он больше $a^2 + 1$. Дискриминант уравнения $D = 33 - 16a^2$ равен нулю при $a = -\dfrac{\sqrt{33}}{4}$ или $a = \dfrac{\sqrt{33}}{4}$. При каждом из этих значений $a$ уравнение имеет ровно один корень $3,5 > a^2 + 1 = \dfrac{49}{16}$, поэтому $a = -\dfrac{\sqrt{33}}{4}$ и $a = \dfrac{\sqrt{33}}{4}$.

Во втором случае уравнение $y^2 - 7y + 4a^2 + 4 = 0$ имеет два корня, причём один из них больше $a^2 + 1$, а другой меньше $a^2 + 1$. Это равносильно тому, что $f(a^2 + 1) < 0,$где $f(y) = y^2 - 7y + 4a^2 + 4.$
Поскольку $f(a^2 + 1) = (a^2 + 1)^2 - 7(a^2 + 1) + 4a^2 + 4 = a^4 - a^2 - 2 = (a^2 - 2)(a^2 + 1),$неравенство $f(a^2 + 1) < 0$равносильно неравенству $(a^2 - 2)(a^2 + 1) < 0,$откуда получаем: $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}.$
Ответ:
$a = -\dfrac{\sqrt{33}}{4}; \; -\sqrt{2} < a < \sqrt{2}; \; a = \dfrac{\sqrt{33}}{4}.$