Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

a) Заметим, что:
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD, \quad \angle ABP = 90^\circ - \angle BAD,$
$\angle CBQ = 90^\circ - \angle BCD = 90^\circ - \angle BAD.$
Таким образом,
$\angle PBQ = \angle ABC - \angle ABP - \angle CBQ = \angle BAD.$
Значит, треугольники $MAB$ и $PBQ$ равны, поскольку $AM = BP, \quad AB = BQ$ и $\angle MAB = \angle PBQ.$ Следовательно, $BM = PQ.$

б) В треугольнике $ABP$, по теореме Пифагора, получаем:
$AP = \sqrt{AB^2 - BP^2} = 6.$
Пусть $QH$ — высота треугольника $BQP$. Тогда треугольники $ABP$ и $BQH$ равны, поскольку $AB = BQ$, $\angle BAP = \angle QBH$ и $\angle APB = \angle BHQ = 90^\circ$.
Следовательно, $BH = AP = 6$. Значит, $PH = BP - BH = 2$.
Площади треугольников $APQ$ и $APH$ равны, поскольку прямые $AP$ и $QH$ параллельны. Площадь треугольника $APH$ равна
$\dfrac{AP \cdot PH}{2} = \dfrac{6 \cdot 2}{2} = 6.$
Следовательно, площадь треугольника $APQ$ равна $6$.
Ответ: б) $6$.