Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

$\log_{0,5} \dfrac{x - 3}{x + 3} + 2 \log_4 (x^2 - 9) \geq 5.$
Ограничения:
$\begin{cases}\dfrac{x - 3}{x + 3} > 0,\\x^2 - 9 > 0.\end{cases}$
$\dfrac{x - 3}{x + 3} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty).$
$x^2 - 9 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty).$
Значит, ограничения: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty).$

Приведём каждый из логарифмов к основанию $2$, получим:
$\log_{0,5} \dfrac{x - 3}{x + 3} = \log_{2^{-1}} \dfrac{x - 3}{x + 3} = -\log_2 \dfrac{x - 3}{x + 3}.$
$\log_4 (x^2 - 9) = \log_{2^2} (x^2 - 9) = \dfrac{1}{2} \log_2 (x^2 - 9).$

Значит, неравенство примет вид:
$-\log_2 \dfrac{x - 3}{x + 3} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \log_2 (x^2 - 9) \geq 5.$
$-\log_2 \dfrac{x - 3}{x + 3} + \log_2 (x^2 - 9) \geq 5.$

Так как $x\ne -3$, воспользуемся формулой разности логарифмов.
$\log_2 (x + 3)^2 \geq 5.$
$(x + 3)^2 \geq 2^5 .$
$(x + 3)^2 \geq 32.$
$|x + 3| \geq \sqrt{32}.$
$x + 3 \leq -4\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x + 3 \geq 4\sqrt{2}.$
$x \leq -3 - 4\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x \geq -3 + 4\sqrt{2}.$То есть $(-\infty; -3 - 4\sqrt{2}]\cup (-3 + 4\sqrt{2}; +\infty)$.
Учтём ограничения $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty).$
$-3 - 4\sqrt{2} \approx -8.657 < -3, \text{ входит.}$
$-3 + 4\sqrt{2} \approx 2.657 < 3, \text{ не входит в ОДЗ.}$

Таким образом, $(-\infty; -3 - 4\sqrt{2}]\cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3 - 4\sqrt{2}]\cup (3; +\infty)$.