Задание 16 ЕГЭ по математике профильной

$\dfrac{9^x - 3^{x+2} + 8}{\log_{\frac{1}{6}}^2 (5^x - 2) + \log_{\frac{1}{6}} (5^x - 2)^2 + 1} \leq 0.$
Добавим ограничения:
$5^x - 2 > 0 \Rightarrow 5^x > 2 \Rightarrow x > \log_5 2.$
Преобразуем знаменатель. При условии, что $5^x - 2 > 0$, слагаемое $\log_{\frac{1}{6}} (5^x - 2)^2$ будет равно $2\log_{\frac{1}{6}} (5^x - 2)$.

То есть $\log_{\frac{1}{6}}^2 (5^x - 2) + \log_{\frac{1}{6}} (5^x - 2)^2 + 1=\log^2_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) + 2 \log_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) + 1=\left( \log_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) + 1 \right)^2.$
Неравенство примет вид:

$\dfrac{9^x - 3^{x+2} + 8}{\left( \log_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) + 1 \right)^2} \leq 0.$

Знаменатель всегда неотрицателен. Он равен нулю, если
$\log_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) + 1 = 0$

$\log_{\frac{1}{6}}(5^x - 2) = -1$

$5^x - 2 = \left( \dfrac{1}{6} \right)^{-1}$
$5^x - 2 = 6$

$5^x = 8$

$x = \log_5 8$.
При $x = \log_5 8$ знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Значит, $x \ne \log_5 8$.
Так как знаменатель — квадрат, то он положителен при всех $x$ из ОДЗ, кроме $x = \log_5 8$.
Следовательно, знак дроби определяется числителем:
$9^x - 3^{x+2} + 8 \leq 0.$
$3^{2x} - 9 \cdot 3^x + 8 \leq 0.$
Пусть
$t = 3^x, \quad t > 0.$
$t^2 - 9t + 8 \leq 0.$
$(t - 1)(t - 8) \leq 0.$
$t \in [1; 8].$

Обратно:
$1 \leq 3^x \leq 8.$
$3^0 \leq 3^x \leq 3^{\log_3 8}.$
$0 \leq x \leq \log_3 8.$
С учётом ограничения $x > \log_5 2$ и исключения $x \neq \log_5 8$получим:
$x\in(\log_5 2; \log_5 8) \cup (\log_5 8; \log_3 8]$

Ответ: $(\log_5 2; \log_5 8) \cup (\log_5 8; \log_3 8]$