Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование.

Систему отсчета связываем с Землей (инерциальная система).
Тело считаем материальной точкой (размеры малы по сравнению с радиусом полусферы).
Полусфера гладкая ⇒ сила трения отсутствует, работа силы реакции опоры $\vec{N}$ равна нулю.
Механическая энергия сохраняется.
В момент отрыва $N = 0 .$

Закон сохранения энергии.

В начальной точке (вершина полусферы):
$E_1 = mgR$ В точке отрыва:
$E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh$ По закону сохранения энергии:$mgR = \frac{mv^2}{2} + mgh \quad (1)$

Условие отрыва.

В момент отрыва равнодействующая сил дает центростремительное ускорение:
$mg \cos \alpha = m \frac{v^2}{R} \quad (2)$Из геометрии:$\cos \alpha = \frac{h}{R} \quad (3)$

Решение системы уравнений.

Подставляем $(3)$ в $(2)$:$g \frac{h}{R} = \frac{v^2}{R} \implies h = \frac{v^2}{g}$Подставляем $h$ в $(1)$:
$gR = \frac{v^2}{2} + g \cdot \frac{v^2}{g} \implies gR = \frac{v^2}{2} + v^2$ $gR = \frac{3v^2}{2} \implies R = \frac{3v^2}{2g}$

Численный расчет.

Подставляем $v = 4 \, \text{м/с}$ и $g = 10 \, \text{м/с}^2$:$R = \frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 10} = \frac{48}{20} = 2.4 \, \text{м}$
Ответ: $R = 2.4 \, \text{м}.$