Задание 26 ЕГЭ по физике

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Палочку считаем абсолютно твердым телом. Условия равновесия:
— сумма внешних сил равна нулю
— сумма моментов внешних сил равна нулю

$3)$ Нить и блок невесомы, трения нет, поэтому силы натяжения одинаковы вдоль каждой нити.

$4)$ Применяем второй закон Ньютона для описания движения грузов.

Решение:

$1)$ Определим расстояния от точки опоры:
— до левого конца: $0.4l$
— до центра палочки: $0.1l$
— до правого конца: $0.6l$

$2)$ Запишем правило моментов для палочки относительно точки опоры: $T_2 \cdot 0.4l = mg \cdot 0.1l + T \cdot 0.6l$
$3)$ Для груза $M{:}$ $T = Mg$
$4)$ Для невесомого блока: $T_2 = 2T_1$
$5)$ Запишем второй закон Ньютона для грузов $m_1$ и $m_2{:}$ $m_1a = m_1g- T_1$ $m_2a = T_1- m_2g$
$6)$ Сложим уравнения, исключив ускорение: $m_1a + m_2a = m_1g- T_1 + T_1- m_2g$ $(m_1 + m_2)a = (m_1- m_2)g$ $a = \dfrac{m_1- m_2}{m_1 + m_2}g$
$7)$ Найдем $T_1$ из первого уравнения: $T_1 = m_1g- m_1a = m_1g- m_1 \cdot \dfrac{m_1- m_2}{m_1 + m_2}g = \dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$
$8)$ Тогда: $T_2 = 2T_1 = \dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g$
$9)$ Подставим в уравнение моментов: $\dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g \cdot 0.4l = mg \cdot 0.1l + Mg \cdot 0.6l$
$10)$ Сократим $gl{:}$ $\dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2} = 0.1m + 0.6M$
$11)$ Выразим $M{:}$ $0.6M = \dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2}- 0.1m$ $M = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2}- 0.1m \right)$
$12)$ Подставим числовые значения: $M = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{1.6 \cdot 0.5 \cdot 0.8}{0.5 + 0.8}- 0.1 \cdot 0.2 \right) = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{0.64}{1.3}- 0.02 \right)$ $M = \dfrac{1}{0.6} (0.4923- 0.02) = \dfrac{1}{0.6} \cdot 0.4723 \approx 0.787 \space \text{кг}$

Ответ: $0.787 \space \text{кг}$ масса груза $M.$