Задание 22 ОГЭ по математике

Рассмотрим функцию$y = x^2 + 13x- 3 |x+7| + 42$.

$1)$ Раскроем модуль $|x + 7|$.
При $x + 7 \geq 0$, то есть $x \geq -7$, модуль раскроется так:$|x + 7| = x + 7$.

Тогда функция примет вид:
$y = x^{2} + 13x - 3(x + 7) + 42 = x^{2} + 13x - 3x - 21 + 42 = x^{2} + 10x + 21$.

Выделим полный квадрат:

$y= x^{2} + 10x + 21=(x^2+2\cdot x\cdot 5+25)-25+21=(x+5)^2-4$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y=x^2$ с вершиной в точке $(-5;-4)$.

$2)$ При $x + 7 < 0$, то есть $x < -7$модуль раскроется так: $|x + 7| = -(x + 7) = -x - 7$.

Тогда функция примет вид:
$y = x^{2} + 13x - 3(-x - 7) + 42 = x^{2} + 13x + 3x + 21 + 42 = x^{2} + 16x + 63$.

Выделим полный квадрат:

$y= x^{2} + 16x + 63=(x^2+2\cdot x\cdot 8+64)-64+63=(x+8)^2-1$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y=x^2$ с вершиной в точке $(-8;-1)$.

Таким образом, функция имеет вид:
$y = \begin{cases} (x + 8)^{2} - 1, & x < -7 \\ (x + 5)^{2} - 4, & x \geq -7 \end{cases}$

Построим таблицу значений функции при $x \geq -7$:

Построим таблицу значений функции при $x < -7$:

$3)$ Построим график функции и определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки при:
$m = -1$ или $m = 0$.
Ответ:
$m = -1$ или $m = 0$.