Задание 22 ОГЭ по математике

$1)$ Раскроем модуль $|x - 3|$.
При $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$, модуль раскроется так: $|x - 3| = x - 3$.
Тогда функция примет вид:
$y = x^2 - 8x - 4(x - 3) + 15 = x^2 - 8x - 4x + 12 + 15 = x^2 - 12x + 27.$
Выделим полный квадрат:
$y = x^2 - 12x + 27 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 36) - 36 + 27 = (x - 6)^2 - 9.$
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y = x^2$ с вершиной в точке $(6; -9)$.
$2)$ При $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$, модуль раскроется так: $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.
Тогда функция примет вид:
$y = x^2 - 8x - 4(-x + 3) + 15 = x^2 - 8x + 4x - 12 + 15 = x^2 - 4x + 3.$
Выделим полный квадрат:
$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 4) - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1.$
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y = x^2$ с вершиной в точке $(2; -1)$.
Таким образом, функция имеет вид:
$y = \begin{cases} (x - 2)^2 - 1, & x < 3 \\ (x - 6)^2 - 9, & x \geq 3 \end{cases}$
Построим таблицу значений функции при $x \geq 3$:

Построим таблицу значений функции при $x < 3$:

Построим график функции.

$4)$ Проанализируем пересечения с прямой $y = m$ с графиком функции.
Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки при:
$m = -1$или $m = 0$.
Ответ: $m = -1$или $m = 0$.