Задание 22 ОГЭ по математике

Постройте график функции $y = x^2 + 14x - 3|x + 8| + 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение:
$1)$ Раскроем модуль $|x + 8|$.
При $x + 8 \geq 0$, то есть $x \geq -8$, модуль раскроется так: $|x + 8| = x + 8$.
Тогда функция примет вид:
$y = x^2 + 14x - 3(x + 8) + 48 = x^2 + 14x - 3x - 24 + 48 = x^2 + 11x + 24.$
Выделим полный квадрат:
$y = x^2 + 11x + 24 = \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{11}{2} + \frac{121}{4}\right) - \frac{121}{4} + 24 = \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \frac{121}{4} + \frac{96}{4} = \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}.$
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y = x^2$ с вершиной в точке $\left(-\frac{11}{2}; -\frac{25}{4}\right)$.
$2)$ При $x + 8 < 0$, то есть $x < -8$, модуль раскроется так: $|x + 8| = -(x + 8) = -x - 8$.
Тогда функция примет вид:
$y = x^2 + 14x - 3(-x - 8) + 48 = x^2 + 14x + 3x + 24 + 48 = x^2 + 17x + 72.$
Выделим полный квадрат:
$y = x^2 + 17x + 72 = \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{17}{2} + \frac{289}{4}\right) - \frac{289}{4} + 72 = \left(x + \frac{17}{2}\right)^2 - \frac{289}{4} + \frac{288}{4} = \left(x + \frac{17}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}.$
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y = x^2$ с вершиной в точке $\left(-\frac{17}{2}; -\frac{1}{4}\right)$.
Таким образом, функция имеет вид:
$y = \begin{cases} \left(x + \frac{17}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}, & x < -8 \\ \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}, & x \geq -8 \end{cases}$
Построим таблицу значений функции при $x \geq -8$:

Построим таблицу значений функции при $x < -8$:

$3)$ Построим график функции.

$4)$ Проанализируем пересечения с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки при:
$m = -\frac{1}{4} \quad \text{или} \quad m = 0.$
Ответ: $m = -\frac{1}{4} \quad \text{или} \quad m = 0.$