Смешанные дроби: теория, алгоритм вычислений и примеры с решением для 5 класса

«Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной», и говорят «смешанное число».

Например, в записи $2 \frac{3}{5}$ число $2$ — целая часть, а $\frac{3}{5}$ — дробная часть. Эту же запись можно представить как сумму целого числа и правильной дроби: $2 \frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5}$.

Запомни правило:

«Дробная часть смешанного числа — это правильная дробь. Это значит, что числитель, число над чертой, строго меньше знаменателя, числа под чертой».

Например:

• $\frac{3}{5}$ — правильная дробь, потому что $3 < 5$;
• $\frac{7}{5}$ — неправильная дробь, потому что $7 > 5$.

«Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью».

«Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

• разделить с остатком числитель на знаменатель;
• неполное частное будет целой частью;
• остаток (если он есть) даёт числитель, а делитель — знаменатель дробной части».

Рассмотрим дробь $\frac{17}{5}$.

1. Делим $17$ на $5$.
2. Получаем $3$ целых, потому что $5 \times 3 = 15$.
3. Находим остаток: $17-15 = 2$.
4. Число $3$ записываем как целую часть.
5. Остаток $2$ записываем в числитель.
6. Знаменатель $5$ оставляем без изменений.

Получается: $\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}$.

Иногда для вычислений удобнее использовать неправильную дробь.

«Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

• умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
• к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
• записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения».

Рассмотрим число $5 \frac{3}{4}$.

Умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: $5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23$.

Значит: $5 \frac{3}{4} = \frac{23}{4}$.

«При сложении (и вычитании) чисел в смешанной записи целые части складывают (вычитают) отдельно, а дробные отдельно».

Алгоритм такой:

1. Сложи целые части.
2. Сложи дробные части.
3. Проверь дробную часть в ответе.
4. Если дробь правильная, запиши ответ.
5. Если дробь неправильная, выдели из неё целую часть и прибавь её к общему числу.

Рассмотрим пример: $1 \frac{3}{5} + 2 \frac{4}{5}$.

Шаг 1. Складываем целые части: $1 + 2 = 3$.

Шаг 2. Складываем дробные части: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.

Шаг 3. Проверяем дробь $\frac{7}{5}$. Она неправильная, потому что $7 > 5$.

Выделяем целую часть: $\frac{7}{5} = 1 \frac{2}{5}$.

Шаг 4. Прибавляем эту единицу к целой части: $3 + 1 \frac{2}{5} = 4 \frac{2}{5}$.

Ответ: $4 \frac{2}{5}$.

Вычитание требует больше внимания, особенно если нужно занимать единицу у целой части.

Алгоритм такой:

1. Сравни числители дробных частей.
2. Если числитель первого числа больше или равен числителю второго, вычитай целые части и дробные части отдельно.
3. Если числитель первого числа меньше, займи единицу у целой части.
4. Преврати эту единицу в дробь с нужным знаменателем: например, $\frac{5}{5}$ или $\frac{7}{7}$.
5. Прибавь эту дробь к дробной части уменьшаемого.
6. Выполни вычитание.

Рассмотрим пример: $5 \frac{1}{3}-2 \frac{2}{3}$.

Шаг 1. Сравниваем числители: $1 < 2$, значит, сразу вычесть дробные части нельзя.

Шаг 2. Занимаем единицу у целой части $5$: $5 = 4 + 1$.

Единицу записываем как $\frac{3}{3}$, потому что знаменатель дробей равен $3$.

Шаг 3. Получаем: $5 \frac{1}{3} = 4 \frac{4}{3}$.

Шаг 4. Вычитаем: $4 \frac{4}{3}-2 \frac{2}{3}$.

Целые части: $4-2 = 2$.

Дробные части: $\frac{4}{3}-\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $2 \frac{2}{3}$.

Та же логика работает при вычитании дроби из целого числа. Например: $4-\frac{3}{7}$.

Записываем число $4$ так: $4 = 3 \frac{7}{7}$.

Теперь вычитаем: $3 \frac{7}{7}-\frac{3}{7} = 3 \frac{4}{7}$.

Ответ: $3 \frac{4}{7}$.

Чтобы уверенно решать примеры, нужно потренироваться на задачах. Ниже — несколько заданий уровня 5 класса с подробным объяснением.

Задача 1. Подготовка к урокам

Условие

На математику ушло $1 \frac{3}{4}$ часа, а на чтение литературы — $2 \frac{2}{4}$ часа. Сколько всего времени заняла подготовка к урокам?

Задача 2. Яблоки в ящике

Условие

В ящике лежало $5 \frac{1}{5}$ килограмма яблок. На приготовление десерта забрали $2 \frac{3}{5}$ килограмма. Какая масса яблок осталась в ящике?

Задача 3. Строительная доска

Условие

Есть трёхметровая доска. От неё нужно отпилить часть длиной $1 \frac{2}{7}$ метра. Какой длины останется доска?

Многие ошибки в примерах со смешанными числами связаны с невнимательностью к знаменателям и дробной части ответа.

Складывают числители и знаменатели

Неверно: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{8}$.

Так делать нельзя: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остаётся прежним.

Верно: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.

Вычитают меньший числитель из большего

Иногда в примере вроде $5 \frac{1}{3}-2 \frac{2}{3}$ пытаются просто вычесть $1$ из $2$ и записать положительный результат. Это ошибка.

Если числитель дробной части уменьшаемого меньше, нужно занять единицу у целой части.

Верно: $5 \frac{1}{3} = 4 \frac{4}{3}$, поэтому: $5 \frac{1}{3}-2 \frac{2}{3} = 4 \frac{4}{3}-2 \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$.

Оставляют неправильную дробь в ответе

Неверно оставлять ответ в виде: $2 \frac{6}{5}$.

Дробная часть смешанного числа должна быть правильной. Нужно выделить целую часть: $\frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}$.

Значит: $2 \frac{6}{5} = 3 \frac{1}{5}$.

Неверно переводят смешанное число в неправильную дробь

Ошибка возникает, если умножить целую часть на числитель, а потом прибавить знаменатель.

Верное правило такое:

Например: $4 \frac{2}{3} = \frac{4 \times 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.

Реши примеры самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Переведи $2 \frac{4}{9}$ в неправильную дробь.

Задание 2. Вычисли $2 \frac{1}{7} + 3 \frac{4}{7}$.

Задание 3. Вычисли $4 \frac{2}{9}-1 \frac{7}{9}$.

Задание 4. Задание со звёздочкой: вычисли $8-3 \frac{4}{11}$.

Смешанные числа помогают записывать неправильные дроби удобнее: отдельно целые единицы и отдельно дробные доли. Теперь ты умеешь переводить смешанное число в неправильную дробь и обратно, складывать смешанные числа, вычитать их с заниманием единицы и проверять, правильно ли записан ответ. Самое важное — следить за знаменателем: при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями он не меняется. Эти навыки пригодятся в дальнейших темах по дробям, рациональным числам и при подготовке к заданиям ОГЭ по математике.