Смешанные дроби появляются в 5 классе, когда к обыкновенной дроби добавляется целая часть. Из-за этого легко перепутать правила сложения, вычитания и перевода дробей из одного вида в другой. Такие вычисления входят в школьную базу и встречаются в задачах ОГЭ по математике как часть действий с рациональными числами. Разберём правила пошагово, чтобы уверенно решать примеры и текстовые задачи.

Из чего состоит смешанное число

«Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной», и говорят «смешанное число».[i]

Например, в записи $2 \frac{3}{5}$ число $2$ — целая часть, а $\frac{3}{5}$ — дробная часть. Эту же запись можно представить как сумму целого числа и правильной дроби: $2 \frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5}$ .

Запомни правило:

«Дробная часть смешанного числа — это правильная дробь. Это значит, что числитель, число над чертой, строго меньше знаменателя, числа под чертой».[i]

Например:

$\frac{3}{5}$ — правильная дробь, потому что $3 < 5$ ;
$\frac{7}{5}$ — неправильная дробь, потому что $7 > 5$ .

«Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью».[i]

Как превратить неправильную дробь в смешанное число

«Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:
разделить с остатком числитель на знаменатель;
неполное частное будет целой частью;
остаток (если он есть) даёт числитель, а делитель — знаменатель дробной части».
[i]

Рассмотрим дробь $\frac{17}{5}$ .

Делим $17$ на $5$.
Получаем $3$ целых, потому что $5 \times 3 = 15$ .
Находим остаток: $17 - 15 = 2$ .
Число $3$ записываем как целую часть.
Остаток $2$ записываем в числитель.
Знаменатель $5$ оставляем без изменений.

Получается: $\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Иногда для вычислений удобнее использовать неправильную дробь.

«Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:
умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения».
[i]

Рассмотрим число $5 \frac{3}{4}$ .

Умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель: $5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23$ .

Значит: $5 \frac{3}{4} = \frac{23}{4}$ .

Как складывать смешанные числа

«При сложении (и вычитании) чисел в смешанной записи целые части складывают (вычитают) отдельно, а дробные отдельно».[i]

Алгоритм такой:

Сложи целые части.
Сложи дробные части.
Проверь дробную часть в ответе.
Если дробь правильная, запиши ответ.
Если дробь неправильная, выдели из неё целую часть и прибавь её к общему числу.

Рассмотрим пример: $1 \frac{3}{5} + 2 \frac{4}{5}$ .

Шаг 1. Складываем целые части: $1 + 2 = 3$ .

Шаг 2. Складываем дробные части: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$ .

Шаг 3. Проверяем дробь $\frac{7}{5}$ . Она неправильная, потому что $7 > 5$ .

Выделяем целую часть: $\frac{7}{5} = 1 \frac{2}{5}$ .

Шаг 4. Прибавляем эту единицу к целой части: $3 + 1 \frac{2}{5} = 4 \frac{2}{5}$ .

Ответ: $4 \frac{2}{5}$ .

Как вычитать смешанные числа

Вычитание требует больше внимания, особенно если нужно занимать единицу у целой части.

Алгоритм такой:

Сравни числители дробных частей.
Если числитель первого числа больше или равен числителю второго, вычитай целые части и дробные части отдельно.
Если числитель первого числа меньше, займи единицу у целой части.
Преврати эту единицу в дробь с нужным знаменателем: например, $\frac{5}{5}$ или $\frac{7}{7}$ .
Прибавь эту дробь к дробной части уменьшаемого.
Выполни вычитание.

Рассмотрим пример: $5 \frac{1}{3} - 2 \frac{2}{3}$ .

Шаг 1. Сравниваем числители: $1 < 2$ , значит, сразу вычесть дробные части нельзя.

Шаг 2. Занимаем единицу у целой части $5$: $5 = 4 + 1$ .

Единицу записываем как $\frac{3}{3}$ , потому что знаменатель дробей равен $3$.

Шаг 3. Получаем: $5 \frac{1}{3} = 4 \frac{4}{3}$ .

Шаг 4. Вычитаем: $4 \frac{4}{3} - 2 \frac{2}{3}$ .

Целые части: $4 - 2 = 2$ .

Дробные части: $\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ .

Ответ: $2 \frac{2}{3}$ .

Та же логика работает при вычитании дроби из целого числа. Например: $4 - \frac{3}{7}$ .

Записываем число $4$ так: $4 = 3 \frac{7}{7}$ .

Теперь вычитаем: $3 \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 3 \frac{4}{7}$ .

Ответ: $3 \frac{4}{7}$ .

Практика: задачи с решением

Чтобы уверенно решать примеры, нужно потренироваться на задачах. Ниже — несколько заданий уровня 5 класса с подробным объяснением.

Задача 1. Подготовка к урокам

Условие

На математику ушло $1 \frac{3}{4}$ часа, а на чтение литературы — $2 \frac{2}{4}$ часа. Сколько всего времени заняла подготовка к урокам?

Шаг 1. Чтобы найти всё время, нужно сложить два значения: $1 \frac{3}{4} + 2 \frac{2}{4}$ .

Шаг 2. Складываем целые часы: $1 + 2 = 3$ .

Шаг 3. Складываем дробные части: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$ .

Шаг 4. Получаем промежуточную запись: $3 \frac{5}{4}$ .

Шаг 5. Проверяем дробную часть. Дробь $\frac{5}{4}$ неправильная, поэтому выделяем целую часть: $\frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ .

Шаг 6. Прибавляем целую часть к числу $3$: $3 + 1 \frac{1}{4} = 4 \frac{1}{4}$ .

Ответ: $4 \frac{1}{4}$ часа.

Задача 2. Яблоки в ящике

Условие

В ящике лежало $5 \frac{1}{5}$ килограмма яблок. На приготовление десерта забрали $2 \frac{3}{5}$ килограмма. Какая масса яблок осталась в ящике?

Шаг 1. Из начальной массы вычитаем массу, которую забрали: $5 \frac{1}{5} - 2 \frac{3}{5}$ .

Шаг 2. Сравниваем числители дробных частей: $1 < 3$ . Значит, нужно занять единицу у целой части.

Шаг 3. Записываем $5 \frac{1}{5}$ иначе: $5 \frac{1}{5} = 4 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 4 \frac{6}{5}$ .

Шаг 4. Получаем новый пример: $4 \frac{6}{5} - 2 \frac{3}{5}$ .

Шаг 5. Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$ .

Шаг 6. Вычитаем дробные части: $\frac{6}{5} - \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$ .

Ответ: $2 \frac{3}{5}$ килограмма яблок.

Задача 3. Строительная доска

Условие

Есть трёхметровая доска. От неё нужно отпилить часть длиной $1 \frac{2}{7}$ метра. Какой длины останется доска?

Шаг 1. Записываем действие: $3 - 1 \frac{2}{7}$ .

Шаг 2. У числа $3$ нет дробной части, поэтому занимаем одну единицу.

Шаг 3. Записываем число $3$ как смешанное число со знаменателем $7$: $3 = 2 \frac{7}{7}$ .

Шаг 4. Вычитаем: $2 \frac{7}{7} - 1 \frac{2}{7}$ .

Шаг 5. Работаем с целыми частями: $2 - 1 = 1$ .

Шаг 6. Работаем с дробными частями: $\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ .

Ответ: $1 \frac{5}{7}$ метра.

Типичные ошибки

Многие ошибки в примерах со смешанными числами связаны с невнимательностью к знаменателям и дробной части ответа.

Складывают числители и знаменатели

Неверно: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{8}$ .

Так делать нельзя: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остаётся прежним.

Верно: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ .

Вычитают меньший числитель из большего

Иногда в примере вроде $5 \frac{1}{3} - 2 \frac{2}{3}$ пытаются просто вычесть $1$ из $2$ и записать положительный результат. Это ошибка.

Если числитель дробной части уменьшаемого меньше, нужно занять единицу у целой части.

Верно: $5 \frac{1}{3} = 4 \frac{4}{3}$ , поэтому: $5 \frac{1}{3} - 2 \frac{2}{3} = 4 \frac{4}{3} - 2 \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ .

Оставляют неправильную дробь в ответе

Неверно оставлять ответ в виде: $2 \frac{6}{5}$ .

Дробная часть смешанного числа должна быть правильной. Нужно выделить целую часть: $\frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}$ .

Значит: $2 \frac{6}{5} = 3 \frac{1}{5}$ .

Неверно переводят смешанное число в неправильную дробь

Ошибка возникает, если умножить целую часть на числитель, а потом прибавить знаменатель.

Верное правило такое:

Например: $4 \frac{2}{3} = \frac{4 \times 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$ .

Самопроверка

Реши примеры самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Переведи $2 \frac{4}{9}$ в неправильную дробь.

Задание 2. Вычисли $2 \frac{1}{7} + 3 \frac{4}{7}$ .

Задание 3. Вычисли $4 \frac{2}{9} - 1 \frac{7}{9}$ .

Задание 4. Задание со звёздочкой: вычисли $8 - 3 \frac{4}{11}$ .

Ответ к заданию 1. Переводим $2 \frac{4}{9}$ в неправильную дробь: $2 \times 9 + 4 = 18 + 4 = 22$ .

Ответ: $\frac{22}{9}$ .

Ответ к заданию 2. Складываем целые и дробные части: $2 \frac{1}{7} + 3 \frac{4}{7} = 5 \frac{5}{7}$ .

Ответ: $5 \frac{5}{7}$ .

Ответ к заданию 3. Нужно занять единицу: $4 \frac{2}{9} = 3 \frac{11}{9}$ .

Вычитаем: $3 \frac{11}{9} - 1 \frac{7}{9} = 2 \frac{4}{9}$ .

Ответ: $2 \frac{4}{9}$ .

Ответ к заданию 4. Превращаем $8$ в смешанное число со знаменателем $11$: $8 = 7 \frac{11}{11}$ .

Вычитаем: $7 \frac{11}{11} - 3 \frac{4}{11} = 4 \frac{7}{11}$ .

Ответ: $4 \frac{7}{11}$ .

Заключение

Смешанные числа помогают записывать неправильные дроби удобнее: отдельно целые единицы и отдельно дробные доли. Теперь ты умеешь переводить смешанное число в неправильную дробь и обратно, складывать смешанные числа, вычитать их с заниманием единицы и проверять, правильно ли записан ответ. Самое важное — следить за знаменателем: при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями он не меняется. Эти навыки пригодятся в дальнейших темах по дробям, рациональным числам и при подготовке к заданиям ОГЭ по математике.