Масштаб и пропорция: теория по математике и разбор задач

Читать такую запись можно так: «отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$». Ещё один школьный вариант: «$a$ так относится к $b$, как $c$ относится к $d$».

Числа $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами пропорции.

Главный инструмент для работы с пропорцией — её основное свойство: если $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $a·d=b·c$.

Это правило часто называют методом креста, потому что числа умножают по диагонали.

Между величинами может быть два вида зависимости:

1. Прямая зависимость: если одна величина увеличивается, вторая увеличивается во столько же раз. Например, чем больше килограммов яблок покупают, тем выше стоимость покупки.
2. Обратная зависимость: если одна величина увеличивается, вторая уменьшается во столько же раз. Например, если автомобиль едет быстрее, времени на тот же путь требуется меньше.

Масштаб — это отношение длины на плане или карте к соответствующей длине на местности. Он показывает, во сколько раз изображение меньше или больше реального объекта.

Чаще всего масштаб записывают так, чтобы первый член равнялся единице. Например: $1:100000$.

Такая запись означает, что $1$ см на карте соответствует $100000$ см на местности. Так как $100000$ см = $1000$ м = $1$ км, то $1$ см на карте показывает $1$ км в реальности.

Масштаб вида $1:100000$ называют численным масштабом.

Иногда чертёж делают с увеличением. Например, запись $10 : 1$ означает, что $10$ см на чертеже соответствуют $1$ см реальной детали.

Чтобы не запутаться в условии, действуй по шагам:

1. Внимательно прочитай условие и выдели величины одного типа.
2. Составь краткую запись: рубли записывай под рублями, килограммы — под килограммами, сантиметры — под сантиметрами.
3. Проверь единицы измерения. Если в задаче есть километры и сантиметры, сначала переведи всё в одну систему.
4. Обозначь неизвестную величину буквой $x$.
5. Определи тип зависимости: прямая или обратная.
6. Составь пропорцию. Если зависимость обратная, одно из отношений нужно перевернуть.
7. Примени метод креста и найди $x$.

Разберём несколько тренировочных задач.

Задача о стоимости покупки

Условие

За $3$ кг яблок заплатили $240$ рублей. Сколько рублей нужно заплатить за $7$ кг таких же яблок?

Задача на поиск масштаба

Условие

Расстояние между городами А и В на карте равно $5$ см, а на местности — $250$ км. Найди масштаб карты.

Задача на вычисление реального расстояния

Условие

Масштаб карты равен $1:1000000$. Расстояние между двумя точками на карте составляет $3,5$ см. Найди расстояние между этими точками на местности.

В задачах на пропорции чаще всего теряют баллы из-за нескольких ошибок:

• Ошибка в единицах измерения. Нельзя напрямую делить миллиметры на километры. Сначала нужно перевести величины в одинаковые единицы, чаще всего в сантиметры.
• Путаница крайних и средних членов пропорции. Например, в пропорции $\frac{2}{5}=\frac{x}{10}$ нельзя умножать $2$ на $x$. Нужно умножать крест-накрест: $2·10=5·x$.
• Слепое применение прямой зависимости. Если рабочих стало больше, время ремонта уменьшится. Значит, перед нами обратная зависимость, и пропорцию нужно составлять с учётом этого.

Перед решением всегда задай себе проверочный вопрос: что произойдёт с искомой величиной, если исходная величина увеличится? Ответ помогает понять, какая зависимость используется.

Реши задачи самостоятельно, а затем сверься с ключами.

Задание 1. За $5$ метров шёлковой ткани заплатили $1500$ рублей. Сколько рублей будет стоить $8$ метров такой же ткани?

Задание 2. План квартиры начерчен в масштабе $1 : 100$. Отрезок стены на плане равен $4$ см. Найди реальную длину стены.

Задание 3. Расстояние между двумя базами равно $15$ км. На схеме оно показано отрезком длиной $3$ см. Найди масштаб схемы.

Теперь ты знаешь, как устроены пропорции и масштаб. Ты умеешь определять тип зависимости, переводить единицы измерения и находить неизвестную величину методом креста. Эти навыки пригодятся в школьной программе и в практико-ориентированных заданиях ОГЭ по математике.