Умножение и деление обыкновенных дробей — базовый навык, который нужен в 5 классе и дальше встречается в вычислительных заданиях по математике. Ошибки чаще всего появляются из-за привычки искать общий знаменатель или забывать переворачивать вторую дробь при делении. Разберём правила, алгоритм и примеры так, чтобы у тебя получалось уверенно решать такие выражения. В конце есть задания для самостоятельной проверки.
Базовая теория
Чтобы умножать и делить дроби, нужно запомнить несколько правил. Они простые, но важно применять их в правильном порядке.
Умножение дробей. Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить числители и знаменатели: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}.$
Числитель первой дроби умножается на числитель второй. Знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй.
Деление дробей. Деление обыкновенных дробей сводится к умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую дробь заменить на обратную: поменять местами её числитель и знаменатель. После этого знак деления меняется на знак умножения: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}.$
Умножение дроби на натуральное число. Любое целое число можно представить как дробь со знаменателем $1$. Например: $7 = \frac{7}{1}.$
После этого применяется обычное правило умножения дробей. Числитель умножается на целое число, а знаменатель остаётся прежним: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}.$
При делении натурального числа на дробь дробь тоже заменяется на обратную, а деление превращается в умножение.
Смешанные числа. Они состоят из целой и дробной части. Перед умножением или делением их нужно перевести в неправильную дробь. У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Например: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}.$
После перевода выполняются обычные действия с дробями.
Особые случаи.
- Если дробь умножить на $1$, она не изменится.
- Если один из множителей равен $0$, результат тоже будет равен $0$.
Универсальный алгоритм решения
Этот порядок действий помогает не запутаться в вычислениях.
- Посмотри на выражение. Переведи все смешанные и целые числа в неправильные дроби.
- Проверь знак действия. Если стоит деление, замени его умножением и переверни вторую дробь.
- Запиши все множители под одну общую дробную черту.
- Выполни сокращение. Сокращать можно числитель со знаменателем, если у них есть общий делитель.
- Перемножь оставшиеся числа в числителе и знаменателе.
- Проверь ответ. Если получилась неправильная дробь, выдели целую часть.
Подробный разбор задач
Разберём несколько примеров: умножение дробей, деление дробей и работу со смешанными числами.
Умножение обыкновенных дробей
Условие Вычисли произведение чисел $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{15}$.
Шаг 1. Перед нами две обыкновенные дроби. Смешанных чисел нет.
Шаг 2. Знак действия — умножение, поэтому переворачивать дроби не нужно.
Шаг 3. Записываем выражение под общую дробную черту: $\frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15}.$
Шаг 4. Выполняем сокращение до умножения.
Числа $5$ и $15$ делятся на $5$: $5 : 5 = 1, \, 1 : 5 = 3.$
Числа $4$ и $8$ делятся на $4$: $4 : 4 = 1, \, 8 : 4 = 2.$
Шаг 5. Подставляем новые значения и считаем: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}.$
Ответ: $\frac{1}{6}$.
Деление обыкновенных дробей
Условие Выполни вычисление: $\frac{3}{4} : \frac{5}{7}.$
Шаг 1. Переводить ничего не нужно: целые части отсутствуют.
Шаг 2. Видим знак деления. Первую дробь оставляем без изменений, вторую переворачиваем: $\frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5}.$
Шаг 3. Объединяем множители под одной дробной чертой: $\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5}.$
Шаг 4. Ищем сокращение. Числа $3$ и $7$ не имеют общих делителей с числами $4$ и $5$, поэтому сократить ничего нельзя.
Шаг 5. Перемножаем: $\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20}.$
Шаг 6. Получилась неправильная дробь. Выделяем целую часть: $\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}.$
Ответ: $1\frac{1}{20}$.
Умножение смешанных чисел
Условие Реши пример: $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3}.$
Шаг 1. Переводим смешанные числа в неправильные дроби.
Для первого числа: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}.$
Для второго числа: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}.$
Шаг 2. Записываем обновлённый пример: $\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3}.$
Шаг 3. Записываем под общую дробную черту: $\frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 3}.$
Шаг 4. Сокращаем.
Тройки сокращаются полностью: $3 : 3 = 1.$
Числа $8$ и $2$ сокращаются на $2$: $8 : 2 = 4, \, 2 : 2 = 1.$
Шаг 5. Считаем итог: $\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} = \frac{4}{1} = 4.$
Ответ: $4$.
Типичные ошибки
Разберём ошибки, из-за которых чаще всего теряют баллы в вычислениях с дробями.
Поиск общего знаменателя при умножении
Как нельзя делать: искать общее кратное для знаменателей при умножении дробей.
Как нужно делать: перемножать числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.
Общий знаменатель нужен при сложении и вычитании дробей. При умножении и делении он не требуется.
Сокращение без общей дробной черты
Как нельзя делать: зачёркивать числа прямо в исходном выражении.
Как нужно делать: сначала записать дроби под одну общую черту, а потом сокращать числитель со знаменателем.
Сокращать два числителя между собой нельзя. Сокращение выполняется только между числом сверху и числом снизу.
Переворот первой дроби
Как нельзя делать: при делении переворачивать первую дробь.
Как нужно делать: переворачивать только вторую дробь, то есть делитель.
Например: $\frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5}.$
Первая дробь $\frac{3}{4}$ остаётся без изменений.
Отдельное умножение частей смешанного числа
Как нельзя делать: отдельно умножать целые части, а потом отдельно дробные.
Как нужно делать: сначала переводить смешанные числа в неправильные дроби.
Например: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
Только после этого можно выполнять умножение или деление.
Проверка знаний
Реши задания без подсказок, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди значение выражения: $\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5}.$
Задание 2. Раздели $\frac{4}{9}$ на $\frac{2}{3}$.
Задание 3. Умножь $\frac{5}{6}$ на число $12$.
Задание 4 (повышенной сложности). Вычисли значение выражения: $2\frac{1}{4} : 1\frac{1}{8}.$
Ответ к заданию 1. $\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{35}.$
Сокращение невозможно, поэтому просто перемножаем числители и знаменатели.
Ответ к заданию 2. $\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}.$
Мы перевернули вторую дробь и сократили $4$ с $2$, а $9$ с $3$.
Ответ к заданию 3. $\frac{5}{6} \cdot 12 = \frac{5}{6} \cdot \frac{12}{1} = 10.$
Число $12$ представили как $\frac{12}{1}$, записали выражение под одну дробную черту и сократили $12$ и $6$ на $6$.
Решение к заданию 4. Переводим смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}, \, 1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}.$
Получаем: $\frac{9}{4} : \frac{9}{8}.$
Меняем деление на умножение и переворачиваем вторую дробь: $\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9}.$
Сокращаем девятки полностью. Числа $8$ и $4$ сокращаем на $4$: $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2.$
Ответ: $2$.
Заключение
Теперь ты знаешь, как умножать и делить обыкновенные дроби, целые числа и смешанные числа. Главное правило при умножении — перемножать числители и знаменатели, а при делении — переворачивать только вторую дробь. Общий знаменатель в этих действиях не нужен. Чтобы избежать больших чисел, выполняй сокращение до окончательного умножения. Для закрепления темы реши несколько похожих примеров в «100балльном банке».
