Умножение и деление обыкновенных дробей — базовый навык, который нужен в 5 классе и дальше встречается в вычислительных заданиях по математике. Ошибки чаще всего появляются из-за привычки искать общий знаменатель или забывать переворачивать вторую дробь при делении. Разберём правила, алгоритм и примеры так, чтобы у тебя получалось уверенно решать такие выражения. В конце есть задания для самостоятельной проверки.

Базовая теория

Чтобы умножать и делить дроби, нужно запомнить несколько правил. Они простые, но важно применять их в правильном порядке.

Умножение дробей. Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить числители и знаменатели: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} .$

Числитель первой дроби умножается на числитель второй. Знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй.

Деление дробей. Деление обыкновенных дробей сводится к умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую дробь заменить на обратную: поменять местами её числитель и знаменатель. После этого знак деления меняется на знак умножения: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} .$

Умножение дроби на натуральное число. Любое целое число можно представить как дробь со знаменателем $1$. Например: $7 = \frac{7}{1} .$

После этого применяется обычное правило умножения дробей. Числитель умножается на целое число, а знаменатель остаётся прежним: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b} .$

При делении натурального числа на дробь дробь тоже заменяется на обратную, а деление превращается в умножение.

Смешанные числа. Они состоят из целой и дробной части. Перед умножением или делением их нужно перевести в неправильную дробь. У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Например: $2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} .$

После перевода выполняются обычные действия с дробями.

Особые случаи.

Если дробь умножить на $1$, она не изменится.
Если один из множителей равен $0$, результат тоже будет равен $0$.

Универсальный алгоритм решения

Этот порядок действий помогает не запутаться в вычислениях.

Посмотри на выражение. Переведи все смешанные и целые числа в неправильные дроби.
Проверь знак действия. Если стоит деление, замени его умножением и переверни вторую дробь.
Запиши все множители под одну общую дробную черту.
Выполни сокращение. Сокращать можно числитель со знаменателем, если у них есть общий делитель.
Перемножь оставшиеся числа в числителе и знаменателе.
Проверь ответ. Если получилась неправильная дробь, выдели целую часть.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Подробный разбор задач

Разберём несколько примеров: умножение дробей, деление дробей и работу со смешанными числами.

Умножение обыкновенных дробей

Условие Вычисли произведение чисел $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{15}$ .

Шаг 1. Перед нами две обыкновенные дроби. Смешанных чисел нет.

Шаг 2. Знак действия — умножение, поэтому переворачивать дроби не нужно.

Шаг 3. Записываем выражение под общую дробную черту: $\frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15} .$

Шаг 4. Выполняем сокращение до умножения.

Числа $5$ и $15$ делятся на $5$: $5 : 5 = 1, 1 : 5 = 3 .$

Числа $4$ и $8$ делятся на $4$: $4 : 4 = 1, 8 : 4 = 2 .$

Шаг 5. Подставляем новые значения и считаем: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} .$

Ответ: $\frac{1}{6}$ .

Деление обыкновенных дробей

Условие Выполни вычисление: $\frac{3}{4} : \frac{5}{7} .$

Шаг 1. Переводить ничего не нужно: целые части отсутствуют.

Шаг 2. Видим знак деления. Первую дробь оставляем без изменений, вторую переворачиваем: $\frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} .$

Шаг 3. Объединяем множители под одной дробной чертой: $\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} .$

Шаг 4. Ищем сокращение. Числа $3$ и $7$ не имеют общих делителей с числами $4$ и $5$, поэтому сократить ничего нельзя.

Шаг 5. Перемножаем: $\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20} .$

Шаг 6. Получилась неправильная дробь. Выделяем целую часть: $\frac{21}{20} = 1 \frac{1}{20} .$

Ответ: $1 \frac{1}{20}$ .

Умножение смешанных чисел

Условие Реши пример: $1 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{2}{3} .$

Шаг 1. Переводим смешанные числа в неправильные дроби.

Для первого числа: $1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} .$

Для второго числа: $2 \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} .$

Шаг 2. Записываем обновлённый пример: $\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} .$

Шаг 3. Записываем под общую дробную черту: $\frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 3} .$

Шаг 4. Сокращаем.

Тройки сокращаются полностью: $3 : 3 = 1 .$

Числа $8$ и $2$ сокращаются на $2$: $8 : 2 = 4, 2 : 2 = 1 .$

Шаг 5. Считаем итог: $\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} = \frac{4}{1} = 4 .$

Ответ: $4$.

Типичные ошибки

Разберём ошибки, из-за которых чаще всего теряют баллы в вычислениях с дробями.

Поиск общего знаменателя при умножении

Как нельзя делать: искать общее кратное для знаменателей при умножении дробей.

Как нужно делать: перемножать числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Общий знаменатель нужен при сложении и вычитании дробей. При умножении и делении он не требуется.

Сокращение без общей дробной черты

Как нельзя делать: зачёркивать числа прямо в исходном выражении.

Как нужно делать: сначала записать дроби под одну общую черту, а потом сокращать числитель со знаменателем.

Сокращать два числителя между собой нельзя. Сокращение выполняется только между числом сверху и числом снизу.

Переворот первой дроби

Как нельзя делать: при делении переворачивать первую дробь.

Как нужно делать: переворачивать только вторую дробь, то есть делитель.

Например: $\frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} .$

Первая дробь $\frac{3}{4}$ остаётся без изменений.

Отдельное умножение частей смешанного числа

Как нельзя делать: отдельно умножать целые части, а потом отдельно дробные.

Как нужно делать: сначала переводить смешанные числа в неправильные дроби.

Например: $1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ , $2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ .

Только после этого можно выполнять умножение или деление.

Проверка знаний

Реши задания без подсказок, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди значение выражения: $\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} .$

Задание 2. Раздели $\frac{4}{9}$ на $\frac{2}{3}$ .

Задание 3. Умножь $\frac{5}{6}$ на число $12$.

Задание 4 (повышенной сложности). Вычисли значение выражения: $2 \frac{1}{4} : 1 \frac{1}{8} .$

Ответ к заданию 1. $\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{35} .$

Сокращение невозможно, поэтому просто перемножаем числители и знаменатели.

Ответ к заданию 2. $\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3} .$

Мы перевернули вторую дробь и сократили $4$ с $2$, а $9$ с $3$.

Ответ к заданию 3. $\frac{5}{6} \cdot 12 = \frac{5}{6} \cdot \frac{12}{1} = 10 .$

Число $12$ представили как $\frac{12}{1}$ , записали выражение под одну дробную черту и сократили $12$ и $6$ на $6$.

Решение к заданию 4. Переводим смешанные числа в неправильные дроби: $2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}, 1 \frac{1}{8} = \frac{9}{8} .$

Получаем: $\frac{9}{4} : \frac{9}{8} .$

Меняем деление на умножение и переворачиваем вторую дробь: $\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9} .$

Сокращаем девятки полностью. Числа $8$ и $4$ сокращаем на $4$: $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2 .$

Ответ: $2$.

Заключение

Теперь ты знаешь, как умножать и делить обыкновенные дроби, целые числа и смешанные числа. Главное правило при умножении — перемножать числители и знаменатели, а при делении — переворачивать только вторую дробь. Общий знаменатель в этих действиях не нужен. Чтобы избежать больших чисел, выполняй сокращение до окончательного умножения. Для закрепления темы реши несколько похожих примеров в «100балльном банке».