Обыкновенные дроби нужны, чтобы записывать части целого: половину пути, треть книги, несколько кусочков пиццы. Эта тема встречается во многих разделах: при работе с текстовыми задачами, отношениями и процентами. Если понять, что показывают числитель и знаменатель, дроби перестают выглядеть как набор непонятных чисел. Разберём основные виды дробей, алгоритмы решения задач и типичные ошибки.

Что такое обыкновенная дробь

«Запись вида $\frac{a}{b}$ называют обыкновенной дробью, где
знаменатель (число под чертой) показывает, на сколько равных частей разделили целое;
числитель (число над чертой) — сколько таких частей взяли».
[i]

Знаменатель не может быть равен нулю: нельзя разделить целое на ноль частей.

Представь, что пиццу разрезали на 8 одинаковых кусочков. На тарелку положили 3 кусочка. Эту часть пиццы можно записать так: $\frac{3}{8}$ , где 8 — количество всех кусочков, а 3 — те, что лежат на тарелке.

Виды обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби бывают нескольких видов.

Правильные дроби

У правильной дроби числитель меньше знаменателя.

Примеры: $\frac{2}{5}, \frac{7}{10}$ .

Такая дробь всегда меньше единицы.

Неправильные дроби

У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Примеры: $\frac{5}{4}, \frac{3}{3}$ .

Такая дробь равна единице или больше единицы.

Смешанные числа

Смешанное число состоит из целой части и дробной части.

Например: $2 \frac{1}{3}$ .

Это означает две целые единицы и ещё одну треть.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Как решать текстовые задачи с дробями

Чтобы найти часть от числа, удобно действовать по алгоритму.

Найди число, которое означает всё целиком.
Раздели это число на знаменатель. Так получится размер одной доли.
Умножь результат на числитель. Так получится нужное количество долей.

Разбор задач

Находим часть от числа

Условие

В классе учится 30 человек. Известно, что $\frac{2}{5}$ всех учеников посещают спортивные секции. Сколько учеников занимаются спортом?

Шаг 1. Всего в классе 30 учеников. Это целое. Знаменатель равен 5, числитель равен 2.

Шаг 2. Находим одну пятую часть класса: $30 : 5 = 6$ . Одна доля — это 6 учеников.

Шаг 3. Нужно взять две такие доли: $6 \cdot 2 = 12$ . Проверим смысл результата: часть класса должна быть меньше всего класса. Число 12 меньше 30, значит, ответ выглядит логично.

Ответ: спортом занимаются 12 школьников.

Складываем дроби с одинаковыми знаменателями

Условие

Маша прочитала $\frac{2}{9}$ книги утром и ещё $\frac{5}{9}$ книги вечером. Какую часть книги прочитала Маша за день?

Шаг 1. У дробей одинаковые знаменатели: 9 и 9.

Шаг 2. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываем числители, а знаменатель оставляем прежним.

Шаг 3. Получаем: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2 + 5}{9} = \frac{7}{9}$ .

Ответ: Маша прочитала $\frac{7}{9}$ книги.

Находим целое по его части

Условие

Туристы прошли 12 километров. Оказалось, что это составило ровно $\frac{3}{4}$ их полного маршрута. Какова длина всего маршрута?

Шаг 1. Число 12 — это только три части маршрута из четырёх.

Шаг 2. Найдём одну часть. Для этого делим 12 на числитель: $12 : 3 = 4$ . Одна доля равна 4 километрам.

Шаг 3. Полный маршрут состоит из четырёх долей: $4 \cdot 4 = 16$ .

Ответ: полный маршрут равен 16 километрам.

Типичные ошибки и ловушки

Складывают знаменатели

Как нельзя: считать, что $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ .

Как нужно: складывать только числители, если знаменатели одинаковые: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . Знаменатель показывает, на какие части поделили целое. Если обе дроби записаны в третьих долях, то после сложения доли остаются третьими.

Делят на числитель при поиске части от числа

Как нельзя: в задаче на поиск $\frac{3}{7}$ от числа 21 делить 21 на 3.

Как нужно: сначала делить целое на знаменатель: $21 : 7 = 3$ . Потом умножать результат на числитель: $3 \cdot 3 = 9$ .

Ответ: $\frac{3}{7}$ от числа 21 равно 9.

Не проверяют результат

Как нельзя: получить часть, которая больше целого, и не заметить ошибку.

Как нужно: оценивать ответ по смыслу. Если нужно найти часть от мешка яблок, ответ в килограммах должен быть меньше исходного веса мешка.

Проверка знаний

Реши задания самостоятельно.

Задание 1. Найди $\frac{4}{9}$ от числа 45.

Задание 2. Сложи $\frac{3}{11}$ и $\frac{5}{11}$ .

Задание 3. На покупку потратили 200 рублей. Это составило ровно $\frac{2}{5}$ от всех накоплений. Сколько денег было изначально?

Решение к заданию 1. Делим 45 на 9: $45 : 9 = 5$ . Умножаем результат на 4: $5 \cdot 4 = 20$ .

Ответ: 20.

Решение к заданию 2. Складываем только числители: $\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{8}{11}$ .

Ответ: $\frac{8}{11}$ .

Решение к заданию 3. Если 200 рублей равны двум частям, то одна часть равна: $200 : 2 = 100$ . Всего частей 5: $100 \cdot 5 = 500$ .

Ответ: 500 рублей.

Заключение

Теперь ты знаешь, что знаменатель показывает количество равных частей, а числитель — сколько таких частей взяли. Ты умеешь находить часть от числа, восстанавливать целое по его части и складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Эти навыки помогают решать текстовые задачи и задачи на вероятность в дальнейшем. Чтобы не ошибаться, каждый раз определяй, что дано в условии: целое число или только его часть.