НОД и НОК появляются в 5-6-м классе, когда ты начинаешь работать с делимостью чисел и дробями. Эти понятия легко перепутать: в одних задачах нужно делить на одинаковые части, а в других — искать ближайшее общее совпадение. Это базовый навык: он помогает уверенно выполнять вычисления, работать с дробями и разбирать текстовые задачи. В статье разберём определения, алгоритм вычисления и три типовых примера.
Как работают НОД и НОК
«НОД: наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел».[i]
Если представить два куска провода разной длины, НОД покажет максимальную длину одинаковых кусков, на которые можно разрезать оба провода.
Есть пары чисел, у которых нет общих простых множителей. Их называют взаимно простыми числами. У таких чисел НОД всегда равен 1. Например, числа 8 и 9 взаимно простые.
«НОК: наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b».[i]
Например, если два события повторяются через разное количество дней, НОК помогает найти ближайший день, когда они снова произойдут одновременно.
Для двух чисел работает полезная формула: НОД(a; b) · НОК(a; b) = a · b.
Она помогает проверить вычисления.
Алгоритм вычисления
Чтобы найти НОД и НОК, удобно разложить числа на простые множители.
- Разложи каждое число на простые множители: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ и так далее.
- Чтобы найти НОД, выбери множители, которые есть во всех разложениях. Затем перемножь их.
- Чтобы найти НОК, выпиши разложение самого большого числа. Затем добавь недостающие множители из разложений других чисел и перемножь полученный ряд.
Практика
Разберём три задачи с пошаговым решением.
Задача: фасовка подарков
Условие
Для новогоднего праздника купили $96$ шоколадок, $72$ апельсина и $84$ банана. Какое максимальное количество одинаковых подарков получится собрать, чтобы использовать все сладости без остатка?
Шаг 1. Определяем тип задачи. В условии нужно разделить продукты на одинаковые подарки и найти максимальное количество таких подарков. Значит, ищем НОД.
Шаг 2. Раскладываем числа на простые множители.
,
,
.
Шаг 3. Ищем общие множители. Во всех трёх разложениях есть две двойки и одна тройка.
Шаг 4. Перемножаем общие множители. НОД(96; 72; 84) = 2 · 2 · 3 = 12.
Ответ: можно сделать максимум $12$ подарков. В каждом будет $8$ шоколадок, $6$ апельсинов и $7$ бананов, потому что , , .
Задача: встреча в порту
Условие
Из порта одновременно отплыли два теплохода. Первый теплоход возвращается в порт каждые $6$ дней, а второй — каждые $8$ дней. Через какое наименьшее количество дней оба судна снова встретятся в этом порту?
Шаг 1. Определяем тип задачи. События повторяются через разное количество дней. Нужно найти ближайший общий момент, поэтому ищем НОК.
Шаг 2. Раскладываем числа на простые множители.
,
.
Шаг 3. Собираем кратное. Берём разложение большего числа: .
В разложении числа $6$ есть множитель $3$, которого пока нет. Добавляем его.
Шаг 4. Перемножаем множители. НОК(6; 8) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24.
Ответ: теплоходы встретятся через $24$ дня.
Задача: проверка по формуле
Условие
Найди НОД и НОК чисел $18$ и $24$. Покажи, как работает проверка по формуле их связи.
Шаг 1. Раскладываем числа на простые множители.
,
.
Шаг 2. Находим НОД. Общие множители — одна двойка и одна тройка: НОД(18; 24) = 2 · 3 = 6.
Шаг 3. Находим НОК. Выписываем разложение большего числа: .
В разложении $18$ есть ещё одна тройка. Добавляем её: НОК(18; 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72.
Шаг 4. Проверяем по формуле. Формула связи: НОД(a; b) · НОК(a; b) = a · b.
Подставим найденные значения:
,
.
Левая и правая части равны, значит, вычисления верны.
Ответ: НОД(18; 24) = 6, , НОК(18; 24) = 72.
Типичные ошибки
Путаница между НОД и НОК
Если в задаче нужно разделить предметы на одинаковые группы, ищем НОД. Такие задачи часто содержат слова «разделить», «одинаковые наборы», «максимальное количество».
Если в задаче события повторяются через разные промежутки времени, ищем НОК. Подсказки: «через сколько дней снова», «когда одновременно», «наименьшее количество времени».
Неполное разложение на множители
Нужно раскладывать числа только на простые множители. Например, множитель $4$ нужно представить как , а множитель $9$ — как . Если оставить составные множители, можно ошибиться при поиске общих частей.
Лишние множители в НОК
Нельзя просто перемножить исходные числа и сразу назвать результат НОК. Произведение чисел всегда будет общим кратным, но оно не всегда будет наименьшим. Например, , а НОК(6; 8) = 24.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди наибольший общий делитель чисел $15$ и $20$.
Задание 2. Найди наименьшее общее кратное чисел $4$ и $6$.
Задание 3. Числа $14$ и $15$. Определи их НОД и НОК.
Ответ к заданию 1. . Общий множитель — $5$, значит, НОД(15; 20) = 5.
Ответ к заданию 2. . Берём разложение $4$ и добавляем множитель $3$: НОК(4; 6) = 2 · 2 · 3 = 12.
Ответ к заданию 3. , . Общих простых множителей нет, значит, числа взаимно простые. Поэтому НОД(14; 15) = 1, а НОК(14; 15) = 14 · 15 = 210.
Заключение
Теперь ты умеешь различать задачи на НОД и НОК по ключевым словам в условии и знаешь универсальный алгоритм их решения через простые множители. Эти знания помогут тебе не ошибаться в вычислениях с дробями и уверенно решать текстовые задачи на экзамене. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих задач в «100балльном банке».
