Делители, кратные и признаки делимости нужны в заданиях по математике, где приходится быстро проверять свойства чисел без деления столбиком. Ошибки в этой теме чаще всего возникают из-за путаницы между делителем и кратным или из-за неверного выбора признака делимости. В статье разберём основные определения, правила делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25, а затем применим их в задачах. Эти навыки пригодятся и в простых вычислениях, и в более сложных заданиях с числами.
Необходимая теория
Разберём два главных термина:
«Делителем натурального числа называют такое натуральное число , на которое делится без остатка».[i]
Возьмём 12. У него есть шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Единица — делитель любого натурального числа. Само оно тоже является своим делителем и одновременно самым большим делителем. У каждого натурального числа, кроме единицы, есть как минимум два делителя.
«Кратным натуральному числу называют такое натуральное число , которое само делится без остатка на ».[i]
Например, числа, кратные 8, выглядят так: 8, 16, 24, 32, 40 и так далее. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Самым маленьким кратным натуральным будет само это число.
Основное правило: делитель находится внутри исходного числа, он меньше или равен ему. Кратное включает исходное число, оно больше или равно ему. Если числа равны, они могут быть и делителями, и кратными друг друга.
Признаки делимости
Иногда делить значение целиком не нужно. Достаточно посмотреть на его последние цифры или сумму цифр.
Делимость на 2
«Натуральное число делится на 2, если его последняя цифра чётная».[i]
К чётным относятся цифры 0, 2, 4, 6, 8. К нечётным — 1, 3, 5, 7, 9.
Например, 12, 146, 5098 делятся на 2, а 15, 237, 8881 на 2 без остатка не делятся.
Делимость на 5
«Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5». [i]
Значения 15, 120, 5555 делятся на 5, а 16 и 237 не делятся.
Делимость на 10
«Натуральное число делится на 10, если его последняя цифра равна 0».[i]
Любое значение, которое делится на 10, делится также на 2 и на 5.
Делимость на 3
«Натуральное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3».[i]
Возьмём значение 12345. Найдём сумму цифр: .
15 делится на 3, значит, 12345 тоже делится на 3.
Делимость на 9
«Натуральное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9».[i]
Проверим значение 2898: .
27 делится на 9 без остатка. Значит, 2898 кратно 9.
Если значение делится на 9, оно обязательно делится на 3. Обратное утверждение неверно: число может делиться на 3, но не делиться на 9.
Делимость на 4
«Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4». [i]
31524 делится на 4, так как две последние цифры образуют 24, а оно делится на 4. 7100 тоже подходит, так как оканчивается двумя нулями.
Делимость на 25
«Натуральное число делится на 25, если две его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 25». [i]
Подходящие окончания: 00, 25, 50 или 75.
Отдельно запомни: признаки делимости не применяют к делению на 0, так как на ноль делить нельзя.
Универсальный алгоритм
Чтобы не запутаться в задании, используй последовательность действий:
- Внимательно прочитай вопрос.
- Определи, нужно найти делитель или кратное.
- Вспомни подходящее правило для заданного числа.
- Примени правило к каждому числу из списка.
- Выпиши результат и проверь ответ.
Примеры с решением
Кратные числа
Условие
Выберите из чисел 14, 21, 31, 42, 51, 63, 68, 75 те, которые кратны 7.
Шаг 1. Нужно найти числа, кратные 7. Значит, ищем варианты, которые сами делятся на 7.
Шаг 2. Вспоминаем таблицу умножения и проверяем:
;
;
;
.
Остальные значения из списка не делятся на 7 без остатка.
Ответ: 14, 21, 42, 63.
Делители числа
Условие
Запишите все делители 36.
Шаг 1. Делитель находится внутри числа. Нам нужны натуральные числа, на которые 36 делится без остатка.
Шаг 2. Делители удобно искать парами:
— получаем пару 1 и 36;
— получаем пару 2 и 18;
— получаем пару 3 и 12;
— получаем пару 4 и 9;
— получаем один делитель 6.
Теперь выписываем делители по возрастанию.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Делимость суммы
Условие
Не выполняя сложения, определите, делится ли сумма на 3.
Шаг 1. Используем правило: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на него.
Шаг 2. Проверим первое слагаемое по признаку делимости на 3: . 9 делится на 3, значит, 126 делится на 3.
Шаг 3. Проверим второе слагаемое: . 12 делится на 3, значит, 345 делится на 3. Оба слагаемых кратны трём, поэтому сумма делится на 3.
Ответ: сумма делится на 3.
Типичные ошибки
Ошибка: применять сумму цифр для проверки чётности.
Как правильно: сумма цифр работает для признаков делимости на 3 и на 9. Если проверяешь делимость на 2 или 5, смотри только на последнюю цифру.
Ошибка: путать кратное и делитель, записывая в ответ на поиск делителей числа, которые больше заданного.
Как правильно: делитель меньше числа или равен ему. Кратное больше числа или равно ему.
Ошибка: думать, что любое нечётное число делится на 3.
Как правильно: 11, 25 и 41 нечётные, но на 3 без остатка не делятся. Для проверки нужно сложить цифры и посмотреть, делится ли полученная сумма на 3.
Самопроверка
Попробуй применить правила самостоятельно.
Задание 1. Укажи, делится ли 4590 на 2, на 5 и на 10.
Задание 2. Найди все делители значения 15.
Задание 3. Не выполняя вычислений, определи, кратно ли число 8712 числу 9.
Ответ к заданию 1. Число 4590 оканчивается нулём. Значит, оно делится на 2, на 5 и на 10.
Ответ к заданию 2. Ищем делители парами: . Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Ответ к заданию 3. Складываем цифры: . 18 кратно 9. Значит, 8712 кратно 9.
Заключение
Теперь ты умеешь различать делители и кратные, а также быстро проверять числа по основным признакам делимости. Для делимости на 2, 5 и 10 нужно смотреть на последнюю цифру, для делимости на 3 и 9 — складывать цифры, а для делимости на 4 и 25 — проверять две последние цифры. При поиске всех делителей удобно двигаться парами: так меньше риск пропустить число. На контрольных по математике эти правила помогают быстрее выполнять задания с натуральными числами и избегать лишних вычислений.
