Степень числа — базовая тема, без которой трудно уверенно считать выражения и решать задачи по математике. Она появляется уже в 5 классе, а затем встречается в алгебре, геометрии и заданиях ОГЭ по математике. Частая ошибка в этой теме — умножать основание на показатель, хотя степень означает другое действие. Разберём, как устроена запись степени, в каком порядке выполнять действия и как избегать типичных ошибок.
Что такое степень числа
Возведение в степень — это короткая запись умножения одинаковых чисел.
«Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, где $n > 1$, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, где:
- Основание степени — число $a$. Оно показывает, какое число умножается само на себя.
- Показатель степени — число $n$. Он показывает, сколько раз основание берётся в качестве множителя».
Например, запись $3^4$ означает, что число $3$ умножается само на себя $4$ раза: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Квадрат и куб числа
У второй и третьей степени есть специальные названия.
Вторую степень числа называют квадратом. Например, выражение $5^2$ читается как «пять в квадрате»: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Третью называют кубом. Например, выражение $4^3$ читается как «четыре в кубе»: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Эти названия связаны с геометрией: площадь квадрата вычисляется через вторую степень, а объём куба — через третью.
Особые случаи
Для нуля, единицы и первой степени действуют простые правила:
- Ноль в любой натуральной степени равен нулю: $0^n = 0$.
- Единица в любой натуральной степени равна единице: $1^n = 1$.
- Степень числа $a$ с показателем $1$ равна самому числу: $a^1 = a$.
Показатель $1$ обычно не пишут. Вместо $7^1$ записывают просто $7$.
Алгоритм вычисления выражений со степенями
Чтобы не ошибиться в вычислениях, соблюдай порядок действий. Если в выражении нет скобок, сначала выполняется возведение в степень, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
Действуй так:
- Найди в выражении степени.
- Распиши степень как произведение одинаковых множителей.
- Вычисли значение степени.
- Выполни остальные действия по порядку: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Примеры с решением
Вычисление степени
Условие
Найди значение выражения $2^5$.
Шаг 1. Основание равно $2$, показатель равен $5$. Значит, число $2$ нужно умножить само на себя $5$ раз: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.
Шаг 2. Считаем последовательно:
$2 \cdot 2 = 4$,
$4 \cdot 2 = 8$,
$8 \cdot 2 = 16$,
$16 \cdot 2 = 32$.
Ответ: $32$.
Выражение с разными действиями
Условие
Найди значение выражения $5 \cdot 3^2 + 10$.
Шаг 1. Сначала выполняем возведение: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
Шаг 2. Подставляем полученное значение в выражение: $5 \cdot 3^2 + 10 = 5 \cdot 9 + 10$.
Шаг 3. Теперь выполняем умножение: $5 \cdot 9 = 45$.
Шаг 4. Затем сложение: $45 + 10 = 55$.
Если сначала умножить $5$ на $3$, а потом возвести результат в квадрат, получится неверный ответ. В выражениях со степенями порядок действий особенно важен.
Ответ: $55$.
Геометрическая задача на объём куба
Условие
Найди объём куба, ребро которого равно $4$ см.
Шаг 1. Объём куба вычисляется по формуле: $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.
Шаг 2. Подставляем значение $a = 4$: $V = 4^3$.
Шаг 3. Расписываем как произведение: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$.
Вычисляем:
$4 \cdot 4 = 16$,
$16 \cdot 4 = 64$.
Значит, объём куба равен $64$ кубическим сантиметрам.
В геометрических задачах важно указывать единицы измерения. Объём измеряется в кубических единицах.
Ответ: $64$ см³.
Типичные ошибки
Умножение основания на показатель
Неверно: $3^4 = 3 \cdot 4 = 12$.
Верно: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Показатель степени показывает количество одинаковых множителей. Он не умножается на основание.
Ошибка в степени единицы
Неверно: $1^7 = 7$.
Верно: $1^7 = 1$.
Выражение $1^7$ означает: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Сколько бы раз единица ни умножалась сама на себя, результат останется равным $1$.
Сложение вместо умножения
Неверно: $2^3 = 2 + 2 + 2 = 6$.
Верно: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Степень означает многократное умножение. Многократное сложение записывается обычным умножением: $2 + 2 + 2 = 2 \cdot 3$.
Быстрая проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1. Запиши в виде степени выражение $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$.
Задание 2. Вычисли значение выражения $10^2$.
Задание 3. Укажи, какое действие выполняется первым в выражении $100-4 \cdot 2^3$.
Задание 4. Вычисли значение выражения $2 \cdot 3^3 + 0^8$.
Ответ к заданию 1. $8^6$. Основание равно $8$, оно встречается $6$ раз.
Ответ к заданию 2. $100$, так как $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ к заданию 3. Первым выполняется возведение: $2^3$.
Ответ к заданию 4. $54$. Сначала считаем степень: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Затем $0^8 = 0$. Получаем: $2 \cdot 27 + 0 = 54$.
Заключение
Теперь ты знаешь, как устроена степень числа, и умеешь правильно определять порядок действий в выражениях. Эти базовые навыки помогут тебе не терять баллы на вычислительных ошибках в заданиях. Чтобы довести навык до автоматизма, рекомендуем попрактиковаться и решить несколько примеров в «100балльном банке».
Автор статьи
