Степень числа — базовая тема, без которой трудно уверенно считать выражения и решать задачи по математике. Она появляется уже в 5 классе, а затем встречается в алгебре, геометрии и заданиях ОГЭ по математике. Частая ошибка в этой теме — умножать основание на показатель, хотя степень означает другое действие. Разберём, как устроена запись степени, в каком порядке выполнять действия и как избегать типичных ошибок.

Что такое степень числа

«Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ , где $n > 1$ , называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ , где:
Основание степени — число $a$ . Оно показывает, какое число умножается само на себя.
Показатель степени — число $n$ . Он показывает, сколько раз основание берётся в качестве множителя».
[i]

Например, запись $3^{4}$ означает, что число $3$ умножается само на себя $4$ раза: $3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ .

Квадрат и куб числа

У второй и третьей степени есть специальные названия.

Эти названия связаны с геометрией: площадь квадрата вычисляется через вторую степень, а объём куба — через третью.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Особые случаи

Для нуля, единицы и первой степени действуют простые правила:

Ноль в любой натуральной степени равен нулю: $0^{n} = 0$ .
Единица в любой натуральной степени равна единице: $1^{n} = 1$ .
Степень числа $a$ с показателем $1$ равна самому числу: $a^{1} = a$ .

Показатель $1$ обычно не пишут. Вместо $7^{1}$ записывают просто $7$.

Алгоритм вычисления выражений со степенями

Чтобы не ошибиться в вычислениях, соблюдай порядок действий. Если в выражении нет скобок, сначала выполняется возведение в степень, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Действуй так:

Найди в выражении степени.
Распиши степень как произведение одинаковых множителей.
Вычисли значение степени.
Выполни остальные действия по порядку: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Примеры с решением

Вычисление степени

Условие

Найди значение выражения $2^{5}$ .

Шаг 1. Основание равно $2$, показатель равен $5$. Значит, число $2$ нужно умножить само на себя $5$ раз: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Шаг 2. Считаем последовательно:

$2 \cdot 2 = 4$ ,
$4 \cdot 2 = 8$ ,
$8 \cdot 2 = 16$ ,
$16 \cdot 2 = 32$ .

Ответ: $32$.

Выражение с разными действиями

Условие

Найди значение выражения $5 \cdot 3^{2} + 10$ .

Шаг 1. Сначала выполняем возведение: $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$ .

Шаг 2. Подставляем полученное значение в выражение: $5 \cdot 3^{2} + 10 = 5 \cdot 9 + 10$ .

Шаг 3. Теперь выполняем умножение: $5 \cdot 9 = 45$ .

Шаг 4. Затем сложение: $45 + 10 = 55$ .

Если сначала умножить $5$ на $3$, а потом возвести результат в квадрат, получится неверный ответ. В выражениях со степенями порядок действий особенно важен.

Ответ: $55$.

Геометрическая задача на объём куба

Условие

Найди объём куба, ребро которого равно $4$ см.

Шаг 1. Объём куба вычисляется по формуле: $V = a^{3}$ , где $a$ — длина ребра куба.

Шаг 2. Подставляем значение $a = 4$ : $V = 4^{3}$ .

Шаг 3. Расписываем как произведение: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

Вычисляем:

$4 \cdot 4 = 16$ ,
$16 \cdot 4 = 64$ .

Значит, объём куба равен $64$ кубическим сантиметрам.

В геометрических задачах важно указывать единицы измерения. Объём измеряется в кубических единицах.

Ответ: $64$ см³.

Типичные ошибки

Умножение основания на показатель

Неверно: $3^{4} = 3 \cdot 4 = 12$ .

Верно: $3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ .

Показатель степени показывает количество одинаковых множителей. Он не умножается на основание.

Ошибка в степени единицы

Неверно: $1^{7} = 7$ .

Верно: $1^{7} = 1$ .

Выражение $1^{7}$ означает: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ .

Сколько бы раз единица ни умножалась сама на себя, результат останется равным $1$.

Сложение вместо умножения

Неверно: $2^{3} = 2 + 2 + 2 = 6$ .

Верно: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

Степень означает многократное умножение. Многократное сложение записывается обычным умножением: $2 + 2 + 2 = 2 \cdot 3$ .

Быстрая проверка знаний

Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.

Задание 1. Запиши в виде степени выражение $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$ .

Задание 2. Вычисли значение выражения $10^{2}$ .

Задание 3. Укажи, какое действие выполняется первым в выражении $100 - 4 \cdot 2^{3}$ .

Задание 4. Вычисли значение выражения $2 \cdot 3^{3} + 0^{8}$ .

Ответ к заданию 1. $8^{6}$ . Основание равно $8$, оно встречается $6$ раз.

Ответ к заданию 2. $100$, так как $10^{2} = 10 \cdot 10 = 100$ .

Ответ к заданию 3. Первым выполняется возведение: $2^{3}$ .

Ответ к заданию 4. $54$. Сначала считаем степень: $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ . Затем $0^{8} = 0$ . Получаем: $2 \cdot 27 + 0 = 54$ .

Заключение

Теперь ты знаешь, как устроена степень числа, и умеешь правильно определять порядок действий в выражениях. Эти базовые навыки помогут тебе не терять баллы на вычислительных ошибках в заданиях. Чтобы довести навык до автоматизма, рекомендуем попрактиковаться и решить несколько примеров в «100балльном банке».

Степень числа: понятная теория и пошаговый разбор задач

Что такое степень числа

Квадрат и куб числа

Особые случаи

Алгоритм вычисления выражений со степенями