Буквенные выражения и свойства действий

Переменную удобно представить как пустое место, куда можно подставить число. Если вместо буквы поставить заданное число, буквенное выражение превратится в числовое. Результат вычислений называют значением буквенного выражения.

Например, в выражении $x+15$ буква $x$ — переменная. Если $x=5$, то получаем числовое выражение $5+15$, значение которого равно $20$.

Для работы с буквенными выражениями нужно знать свойства действий. Они помогают менять порядок чисел и букв так, чтобы считать было удобнее.

Переместительное свойство сложения означает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется: $a+b=b+a$.

Например: $7+x=x+7$.

Сочетательное свойство сложения позволяет по-разному группировать слагаемые: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

Например: $(8+2)+x=8+(2+x)$.

Это свойство удобно, когда рядом есть числа, которые легко сложить.

Переместительное свойство умножения означает, что от перестановки множителей произведение не меняется: $a·b=b·a$.

Например: $25·x=x·25$.

Сочетательное свойство умножения позволяет группировать множители удобным способом: $(a·b)·c=a·(b·c)$.

Например: $(25·x)·4=(25·4)·x$.

Так можно сначала перемножить $25$ и $4$, чтобы получить $100$.

В математической записи знак умножения между числом и буквой обычно опускают.

Числовой множитель пишут перед буквой: $5·x=5x$.

Распределительное свойство умножения относительно сложения помогает раскрывать скобки. Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить результаты: $(a+b)·c=a·c+b·c$.

Например: $(x+3)·2=x·2+3·2=2x+6$.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания работает так же. Чтобы умножить разность на число, можно умножить на него уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: $(a-b)·c=a·c-b·c$.

Например: $(x-4)·3=x·3-4·3=3x-12$.

Если применить распределительное свойство в обратном порядке, получится приведение подобных слагаемых.

Например: $3a+7a=(3+7)a=10a$.

А выражение $3a+2b$ упростить таким способом нельзя, потому что буквенные части разные: $a$ и $b$.

Чтобы упростить буквенное выражение, действуй по шагам:

1. Прочитай условие и найди слагаемые или множители с одинаковыми буквенными частями.
2. Примени свойства сложения или умножения, если нужно удобно сгруппировать числа.
3. Выполни действия с числовыми коэффициентами.
4. Припиши к результату общую буквенную часть.
5. Если нужно найти значение выражения, подставь заданное число вместо переменной и выполни вычисления.

Условие

Найди значение выражения $x+15$, если $x=5$.

Условие

Упрости выражение $25·x·4$.

Условие

Упрости выражение $3a+7a$.

Сложение числа и переменной

Нельзя записывать так: $5+x=5x$.

Число и переменную нельзя объединить в одно произведение. Правильная запись: $5+x$.

Такое выражение можно вычислить только после того, как будет известно значение $x$.

Объединение разных букв

Нельзя записывать так: $3a+2b=5ab$.

Складывать можно только слагаемые с одинаковой буквенной частью. Поэтому выражение $3a+2b$ остаётся без изменений.

Потеря невидимой единицы

Нельзя при вычислении $5x-x$ получать $5$.

Одиночная буква означает, что перед ней стоит коэффициент $1$: $x=1x$.

Поэтому: $5x-x=5x-1x=4x$.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Упрости выражение $12y-4y$.

Задание 2. Вычисли удобным способом выражение $2·b·50$.

Задание 3. Найди значение выражения $10-c$, если $c=3$.

Условие
Упрости выражение $5x+x+14$ и найди его значение при $x=2$.

Теперь ты знаешь, как работают переместительное, сочетательное и распределительное свойства. Ты умеешь приводить подобные слагаемые, грамотно раскрывать скобки и подставлять числа вместо переменных. Эти навыки станут надёжной базой для решения уравнений и алгебраических задач. Чтобы закрепить тему, рекомендуем порешать задания в « 100балльном банке».