Порядок действий — базовый навык для вычислений: он нужен на контрольных и в заданиях ОГЭ по математике, где приходится работать с числовыми выражениями, дробями и формулами. Ошибки часто появляются из-за неверной последовательности вычислений. Разберём, какие действия выполняются первыми, как работают скобки и как не запутаться в длинных выражениях.

Правильный порядок действий в математических выражениях

Чтобы вычисления всегда приводили к верному результату, математические операции делят на две группы. Их называют ступенями вычислений.

Если в выражении нет скобок, сначала выполняем все умножения и деления, двигаясь слева направо. После этого возвращаемся к началу выражения и выполняем сложения и вычитания — тоже слева направо.

Универсальный алгоритм решения

Когда перед тобой длинное выражение, действуй по шагам:

Найди скобки. Если они есть, начни вычисления внутри них.
Выполни умножение и деление. Двигайся слева направо.
Выполни сложение и вычитание. Снова двигайся слева направо.
Подставь промежуточные результаты и найди итоговый ответ.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Детальный разбор трёх примеров задач

Закрепим теорию на практике. Ниже — примеры разного уровня сложности: только с действиями одной ступени, с разными ступенями и со скобками.

Пример с действиями одной ступени

Условие
Найди значение выражения: $800 - 625 + 331 + 84 - 11$ .

Здесь нет скобок, умножения и деления. Все действия относятся к первой ступени, поэтому выполняем их слева направо.

Шаг 1. Выполняем первое вычитание: $800 - 625 = 175$ .

Шаг 2. К полученному результату прибавляем следующее число: $175 + 331 = 506$ .

Шаг 3. Выполняем следующее сложение: $506 + 84 = 590$ .

Шаг 4. Выполняем последнее вычитание: $590 - 11 = 579$ .

Ответ: $579$.

Пример с разными ступенями действий

Условие
Вычисли: $5781 - 28 \cdot 75 : 25 + 156$ .

В выражении есть действия первой и второй ступени. Сначала выполняем умножение и деление. Они стоят рядом, поэтому считаем слева направо.

Шаг 1. Выполняем умножение: $28 \cdot 75 = 2100$ .

Шаг 2. Делим полученный результат: $2100 : 25 = 84$ .
Теперь выражение можно переписать так: $5781 - 84 + 156$ .
Остались действия первой ступени. Выполняем их слева направо.

Шаг 3. Выполняем вычитание: $5781 - 84 = 5697$ .

Шаг 4. Выполняем сложение: $5697 + 156 = 5853$ .

Ответ: $5853$.

Пример со скобками

Условие
Вычисли: $36000 : (62 + 14 \cdot 2) - 23 \cdot 5$ .

Начинаем со скобок: $(62 + 14 \cdot 2)$ .
Внутри скобок есть сложение и умножение. Умножение выполняется первым.

Шаг 1. Умножаем внутри скобок: $14 \cdot 2 = 28$ .

Шаг 2. Складываем внутри скобок: $62 + 28 = 90$ .
Подставляем результат в исходное выражение: $36000 : 90 - 23 \cdot 5$ .
Теперь остались деление, вычитание и умножение. Сначала выполняем действия второй ступени слева направо.

Шаг 3. Выполняем деление: $36000 : 90 = 400$ .

Шаг 4. Выполняем умножение: $23 \cdot 5 = 115$ .
Теперь осталось одно действие первой ступени.

Шаг 5. Вычитаем: $400 - 115 = 285$ .

Ответ: $285$.

Ловушки и типичные ошибки

Даже если правило понятно, ошибка может появиться из-за невнимательности. Вот несколько частых случаев.

Нарушение правила слева направо

В выражении $100 : 10 \cdot 5$ деление и умножение имеют одинаковый приоритет. Поэтому нельзя сначала умножать $10 \cdot 5$ .
Правильный порядок такой:
$100 : 10 = 10$ ,
$10 \cdot 5 = 50$ .
Ответ: $50$.

Сложение до умножения

В выражении $5 + 3 \cdot 4$ нельзя сначала складывать $5 + 3$ . Умножение выполняется раньше сложения.
Правильное решение:
$3 \cdot 4 = 12$ ,
$5 + 12 = 17$ .
Ответ: $17$.

Потеря скобок при частичных вычислениях

Если в выражении есть скобки, важно довести вычисления внутри них до конца. Нельзя выполнить только одно действие в скобках, забыть про оставшиеся и продолжить считать всё выражение без скобок.

Чтобы не ошибиться, перед началом решения можно расставить номера действий над знаками операций. Это особенно помогает в длинных примерах.

Самостоятельная проверка знаний

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Реши пример: $20 + 8 \cdot 2 - 6$ .
Задание 2. Найди значение выражения: $50 - (12 + 8) : 4$ .
Задание 3. Вычисли значение выражения: $160 : (4 + 6 \cdot 2 \cdot 1) + 15$ .

Решение к заданию 1. Сначала выполняем умножение: $8 \cdot 2 = 16$ .
Затем считаем слева направо: $20 + 16 - 6 = 30$ .

Ответ: $30$.

Решение к заданию 2. Сначала находим сумму в скобках: $12 + 8 = 20$ .
Затем выполняем деление: $20 : 4 = 5$ .
Теперь вычитаем: $50 - 5 = 45$ .

Ответ: $45$.

Решение к заданию 3.

Шаг 1. Сначала выполняем умножение внутри скобок: $6 \cdot 2 \cdot 1 = 12$ .

Шаг 2. Затем складываем внутри скобок: $4 + 12 = 16$ .

Шаг 3. Подставляем результат: $160 : 16 + 15$ .
Выполняем деление: $160 : 16 = 10$ .

Шаг 4. Теперь складываем: $10 + 15 = 25$ .

Ответ: $25$.

Заключение

Порядок действий помогает правильно вычислять значения выражений и не терять баллы из-за невнимательности. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, считай слева направо.

Теперь ты умеешь расставлять порядок действий, решать примеры с разными ступенями и проверять себя в заданиях со скобками. Этот навык пригодится в школьных работах и при подготовке к ОГЭ по математике.