Числовые выражения и порядок действий

Иногда числовое выражение вычислить нельзя. Так происходит, если в процессе решения появляется недопустимая операция. Главное ограничение: делить на нуль нельзя. Если часть примера требует деления на нуль, выражение не имеет смысла.

Чтобы прийти к правильному ответу, нужно соблюдать приоритет вычислений. Арифметические действия делятся на три ступени:

1. Сложение и вычитание относятся к действиям первой ступени.
2. Умножение и деление относятся к действиям второй ступени.
3. Возведение в степень относится к действиям третьей ступени.

В выражениях без скобок сначала выполняются действия высшей ступени, затем действия низшей ступени. Действия одной ступени выполняются последовательно слева направо.

Например, в выражении $2+2·2$ сначала выполняем умножение: $2·2=4$. Затем прибавляем $2$: $2+4=6$. Ответ $8$ получается только при нарушении порядка действий.

Скобки меняют очерёдность вычислений. Действия внутри скобок выполняются первыми. Внутри самих скобок сохраняются те же правила: сначала степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Если скобки вложены друг в друга, вычисления начинают с самых внутренних скобок.

В шестом классе часто встречаются примеры с дробной чертой. Дробная черта работает как знак деления и одновременно заменяет скобки. Выражение над чертой вычисляется отдельно, выражение под чертой — отдельно, и только после этого числитель делится на знаменатель.

Особые свойства сложения и умножения могут упростить счёт. Переместительное и распределительное свойства позволяют удобнее группировать числа, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение $25·17·4$ благодаря переместительному свойству удобнее считать так: $(25·4)·17=100·17=1700$.

Чтобы решать длинные выражения без ошибок, удобно пользоваться одним и тем же порядком действий.

1. Внимательно прочитай пример от начала до конца.
2. Найди скобки и самые внутренние выражения, если скобки вложены.
3. Расставь карандашом маленькие цифры над знаками действий, чтобы обозначить очерёдность.
4. Если в примере есть десятичные и обыкновенные дроби, приведи их к одному виду.
5. Выполняй вычисления пошагово и записывай каждое преобразование.
6. Проверь, выглядит ли итоговый результат логично.

Условие

Найдём значение выражения: $50-(12+3·5):3$.

Условие

Вычислим значение числового выражения: $(3,5+\frac{1}{2})·2-4,2:0,7$.

Рассмотрим пример из открытого банка заданий ФИПИ.

Найдите значение выражения $({728}^2-{26}^2):754$.oge.fipi.ru[i]

Разберём ловушки, из-за которых чаще всего теряют баллы.

Нарушение порядка действий

Как нельзя делать: вычислять пример $10-2·3$ строго слева направо и получать $24$.
Как нужно: сначала выполнить умножение: $2·3=6$.
Затем вычесть результат из десяти: $10-6=4$.
Верный ответ: $4$.

Ошибка с дробной чертой

Как нельзя делать: в примере $\frac{10+2}{4+2}$ делить $10$ на $4$, а $2$ на $2$.
Как нужно: воспринимать числитель и знаменатель как выражения в скобках.
Сначала считаем верх: $10+2=12$.
Затем считаем низ: $4+2=6$.
После этого делим: $12:6=2$.
Верный ответ: $2$.

Смешивание дробных форматов

Как нельзя делать: пытаться складывать $0,3$ и $\frac{1}{3}$ столбиком.
Как нужно: перевести дроби к одному виду.
Дробь $\frac{1}{3}$ не имеет конечной десятичной записи, поэтому удобнее перевести $0,3$ в обыкновенную дробь: $0,3=\frac{3}{10}$.
После этого можно искать общий знаменатель и выполнять сложение: $\frac{3}{10}+\frac{1}{3}=\frac{9}{30}+\frac{10}{30}=\frac{19}{30}$.
Верный ответ: $\frac{19}{30}$.

Потеря нуля при делении

Как нельзя делать: делить $412$ на $4$ столбиком и получать $13$.
Как нужно: строго сносить по одной цифре. Единица на четыре не делится, значит, в ответе на этом месте появляется нуль.
Правильное деление даёт: $412:4=103$.
Верный ответ: $103$.

Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.

Задание 1. Найди значение выражения $12+8·10$.

Задание 2. Вычисли $(1,5-\frac{1}{2})·5$.

Задание 3. Определи, имеет ли смысл выражение $100:(15-3·5)$.

Теперь ты умеешь определять числовые выражения, находить их значения и проверять, имеет ли выражение смысл. Главное правило — сначала учитывать скобки, затем степени, умножение и деление, а после них сложение и вычитание. В примерах с дробной чертой отдельно считай числитель и знаменатель, потому что дробная черта заменяет скобки. Эти навыки пригодятся в шестом классе, на контрольных и при подготовке к ОГЭ по математике. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».