Числовые выражения и порядок действий нужны для уверенного счёта в шестом классе и дальше встречаются в заданиях ОГЭ по математике. Ошибки в таких примерах обычно появляются из-за нарушенного порядка вычислений: сначала считают слева направо всё подряд, а потом получают неверный ответ. В статье разберём, что называют числовым выражением, как работают скобки, степени, умножение, деление, сложение и вычитание. Отдельно потренируемся на примерах с дробями и дробной чертой.
Что такое числовое выражение
Числовое выражение — это математическая запись, которая состоит только из чисел, знаков арифметических операций и скобок. Если выполнить все указанные операции по правилам, получится итоговое число. Его называют значением выражения.
Иногда числовое выражение вычислить нельзя. Так происходит, если в процессе решения появляется недопустимая операция. Главное ограничение: делить на нуль нельзя. Если часть примера требует деления на нуль, выражение не имеет смысла.
Чтобы прийти к правильному ответу, нужно соблюдать приоритет вычислений. Арифметические действия делятся на три ступени:
- Сложение и вычитание относятся к действиям первой ступени.
- Умножение и деление относятся к действиям второй ступени.
- Возведение в степень относится к действиям третьей ступени.
В выражениях без скобок сначала выполняются действия высшей ступени, затем действия низшей ступени. Действия одной ступени выполняются последовательно слева направо.
Например, в выражении $2 + 2 \cdot 2$ сначала выполняем умножение: $2 \cdot 2 = 4$. Затем прибавляем $2$: $2 + 4 = 6$. Ответ $8$ получается только при нарушении порядка действий.
Скобки меняют очерёдность вычислений. Действия внутри скобок выполняются первыми. Внутри самих скобок сохраняются те же правила: сначала степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Если скобки вложены друг в друга, вычисления начинают с самых внутренних скобок.
В шестом классе часто встречаются примеры с дробной чертой. Дробная черта работает как знак деления и одновременно заменяет скобки. Выражение над чертой вычисляется отдельно, выражение под чертой — отдельно, и только после этого числитель делится на знаменатель.
Особые свойства сложения и умножения могут упростить счёт. Переместительное и распределительное свойства позволяют удобнее группировать числа, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение $25 \cdot 17 \cdot 4$ благодаря переместительному свойству удобнее считать так: $(25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$.
Алгоритм решения примеров
Чтобы решать длинные выражения без ошибок, удобно пользоваться одним и тем же порядком действий.
- Внимательно прочитай пример от начала до конца.
- Найди скобки и самые внутренние выражения, если скобки вложены.
- Расставь карандашом маленькие цифры над знаками действий, чтобы обозначить очерёдность.
- Если в примере есть десятичные и обыкновенные дроби, приведи их к одному виду.
- Выполняй вычисления пошагово и записывай каждое преобразование.
- Проверь, выглядит ли итоговый результат логично.
Базовые вычисления со скобками
Условие
Найдём значение выражения: $50-(12 + 3 \cdot 5) : 3$.
Сначала смотрим на скобки. Внутри есть сложение и умножение. Умножение относится ко второй ступени, поэтому выполняется раньше сложения.
Шаг 1. Выполняем умножение: $3 \cdot 5 = 15$. Теперь выражение выглядит так: $50-(12 + 15) : 3$.
Шаг 2. Завершаем вычисления в скобках: $12 + 15 = 27$. Получаем: $50-27 : 3$. Остались вычитание и деление. Деление имеет приоритет.
Шаг 3. Делим: $27 : 3 = 9$.
Шаг 4. Выполняем вычитание: $50-9 = 41$.
Ответ: $41$.
Действия с разными дробями
Условие
Вычислим значение числового выражения: $(3{,}5 + \frac{1}{2}) \cdot 2-4{,}2 : 0{,}7$.
В этом примере сочетаются десятичные и обыкновенные дроби, поэтому сначала приведём числа к одному виду.
Шаг 1. Переведём обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{2} = 0{,}5$. Получаем: $(3{,}5 + 0{,}5) \cdot 2-4{,}2 : 0{,}7$.
Шаг 2. Выполняем действие в скобках: $3{,}5 + 0{,}5 = 4$.
Шаг 3. Выполняем умножение: $4 \cdot 2 = 8$.
Шаг 4. Выполняем деление десятичных дробей. Чтобы разделить на $0{,}7$, переносим запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $4{,}2 : 0{,}7 = 42 : 7 = 6$.
Шаг 5. Выполняем вычитание: $8-6 = 2$.
Ответ: $2$.
Сложное выражение со степенями
Рассмотрим пример из открытого банка заданий ФИПИ.
Найдите значение выражения $(728^2-26^2) : 754$.
По общему правилу возведение в степень выполняется раньше остальных действий. Но считать $728^2$ столбиком неудобно: легко ошибиться в вычислениях. Здесь помогает формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a + b)$. Наш пример подходит под эту формулу.
Шаг 1. Преобразуем выражение в скобках: $728^2-26^2 = (728-26)(728 + 26)$.
Шаг 2. Вычисляем значения в новых скобках:
$728 — 26 = 702$,
$728 + 26 = 754$.
Шаг 3. Записываем выражение в новом виде: $702 \cdot 754 : 754$.
Шаг 4. Умножение и деление на одно и то же число — взаимно обратные действия, они нейтрализуют друг друга, поэтому остаётся $702$.
Ответ: $702$.
Типичные ошибки при вычислениях
Разберём ловушки, из-за которых чаще всего теряют баллы.
Нарушение порядка действий
Как нельзя делать: вычислять пример $10-2 \cdot 3$ строго слева направо и получать $24$.
Как нужно: сначала выполнить умножение: $2 \cdot 3 = 6$.
Затем вычесть результат из десяти: $10-6 = 4$.
Верный ответ: $4$.
Ошибка с дробной чертой
Как нельзя делать: в примере $\frac{10 + 2}{4 + 2}$ делить $10$ на $4$, а $2$ на $2$.
Как нужно: воспринимать числитель и знаменатель как выражения в скобках.
Сначала считаем верх: $10 + 2 = 12$.
Затем считаем низ: $4 + 2 = 6$.
После этого делим: $12 : 6 = 2$.
Верный ответ: $2$.
Смешивание дробных форматов
Как нельзя делать: пытаться складывать $0{,}3$ и $\frac{1}{3}$ столбиком.
Как нужно: перевести дроби к одному виду.
Дробь $\frac{1}{3}$ не имеет конечной десятичной записи, поэтому удобнее перевести $0{,}3$ в обыкновенную дробь: $0{,}3 = \frac{3}{10}$.
После этого можно искать общий знаменатель и выполнять сложение: $\frac{3}{10} + \frac{1}{3} = \frac{9}{30} + \frac{10}{30} = \frac{19}{30}$.
Верный ответ: $\frac{19}{30}$.
Потеря нуля при делении
Как нельзя делать: делить $412$ на $4$ столбиком и получать $13$.
Как нужно: строго сносить по одной цифре. Единица на четыре не делится, значит, в ответе на этом месте появляется нуль.
Правильное деление даёт: $412 : 4 = 103$.
Верный ответ: $103$.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1. Найди значение выражения $12 + 8 \cdot 10$.
Задание 2. Вычисли $(1{,}5-\frac{1}{2}) \cdot 5$.
Задание 3. Определи, имеет ли смысл выражение $100 : (15-3 \cdot 5)$.
Решение к заданию 1. $12 + 8 \cdot 10 = 92$.
Сначала выполняем умножение: $8 \cdot 10 = 80$.
Затем прибавляем $12$: $12 + 80 = 92$.
Ответ: $92$.
Решение к заданию 2. $(1{,}5-\frac{1}{2}) \cdot 5 = 5$. Переводим дробь: $\frac{1}{2} = 0{,}5$.
Вычитаем в скобках: $1{,}5-0{,}5 = 1$.
Умножаем: $1 \cdot 5 = 5$.
Ответ: $5$.
Решение к заданию 3. Выражение $100 : (15-3 \cdot 5)$ не имеет смысла.
Сначала выполняем умножение: $3 \cdot 5 = 15$.
Затем считаем в скобках: $15-15 = 0$.
Получается деление на нуль: $100 : 0$.
Делить на нуль нельзя.
Ответ: выражение не имеет смысла.
Заключение
Теперь ты умеешь определять числовые выражения, находить их значения и проверять, имеет ли выражение смысл. Главное правило — сначала учитывать скобки, затем степени, умножение и деление, а после них сложение и вычитание. В примерах с дробной чертой отдельно считай числитель и знаменатель, потому что дробная черта заменяет скобки. Эти навыки пригодятся в шестом классе, на контрольных и при подготовке к ОГЭ по математике. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».
Автор статьи
