Свойства сложения и умножения помогают быстрее считать и упрощать выражения без лишних вычислений столбиком. Эти правила встречаются в школьной математике с 5 класса и нужны для уверенного решения заданий ОГЭ по математике, где важно быстро преобразовывать числовые выражения. Разберём основные законы, покажем алгоритм решения и потренируемся на примерах. После статьи ты сможешь выбирать удобный способ вычислений и избегать типичных ошибок.
Как работают свойства сложения и умножения
Для быстрого счёта используют несколько базовых законов. Они позволяют переставлять и группировать числа так, чтобы сложные вычисления становились устными.
Переместительное свойство
Переместительное свойство означает, что от перестановки мест слагаемых или множителей результат не меняется. Его удобно применять, когда нужно найти пары чисел для быстрого счёта.
Для сложения: $a + b = b + a$.
Для умножения: $a \cdot b = b \cdot a$.
Например, в выражении $27 + 48 + 73$ удобно поменять порядок слагаемых и сначала сложить $27$ и $73$: $27 + 48 + 73 = 27 + 73 + 48 = 100 + 48 = 148$.
Сочетательное свойство
Сочетательное свойство позволяет объединять соседние числа в группы с помощью скобок. При сложении можно сначала сложить любые два слагаемых, а затем прибавить третье. При умножении можно сначала перемножить любые два множителя, а затем умножить результат на оставшийся множитель.
Для сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Для умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Часто переместительное и сочетательное свойства используют вместе: сначала переставляют числа, а потом группируют самые удобные пары.
Распределительное свойство
Распределительное свойство помогает раскрывать скобки или выносить общий множитель за скобки. Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое, а затем сложить результаты.
Относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Относительно вычитания: $(a-b) \cdot c = a \cdot c-b \cdot c$.
Если работа идёт только с натуральными числами, обычно берут такие значения, при которых уменьшаемое больше или равно вычитаемому.
Распределительное свойство можно применять и в обратную сторону:
$a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$,
$a \cdot c-b \cdot c = (a-b) \cdot c$.
Так мы выносим общий множитель за скобки.
Свойства нуля и единицы
Нуль и единица ведут себя по особым правилам.
При сложении с нулём число не меняется: $a + 0 = a$.
При умножении на нуль любое число превращается в нуль: $a \cdot 0 = 0$.
При умножении на единицу число не меняется: $a \cdot 1 = a$.
Эти свойства простые, но именно в них часто допускают технические ошибки.
Универсальный алгоритм решения
Чтобы вычислить выражение рациональным способом, действуй по шагам:
- Посмотри на выражение и найди круглые числа или пары, которые легко превращаются в круглые числа.
- Проверь последние цифры: при сложении удобно искать пары, которые дают $10$, $100$ и так далее.
- При умножении ищи знакомые сочетания: $2 \cdot 50$, $4 \cdot 25$, $8 \cdot 125$.
- Переставь числа местами, если это помогает собрать удобные пары.
- Сгруппируй числа с помощью скобок.
- Если в нескольких произведениях повторяется один и тот же множитель, вынеси его за скобки.
- Выполни действия внутри скобок.
- Заверши оставшиеся арифметические действия.
Разбор задач
Посмотрим, как свойства сложения и умножения работают в заданиях уровня 5–6-х классов и при подготовке к ОГЭ.
Удобное группирование слагаемых
Условие
Вычислите значение выражения удобным способом: $13 + 58 + 87 + 42$.
Шаг 1. Ищем пары чисел, которые при сложении дадут круглое число. Последняя цифра $3$ хорошо дополняется до десятка цифрой $7$, а $8$ — цифрой $2$.
Шаг 2. Группируем удобные пары, используя переместительное и сочетательное свойства: $(13 + 87) + (58 + 42)$.
Шаг 3. Считаем суммы в скобках:
$13 + 87 = 100$,
$58 + 42 = 100$.
Шаг 4. Складываем получившиеся результаты: $100 + 100 = 200$.
Такой способ короче, чем последовательное сложение четырёх чисел, и снижает риск арифметической ошибки.
Ответ: $200$.
Удобное умножение
Условие
Вычислите рационально: $4 \cdot 19 \cdot 25$.
Шаг 1. Анализируем множители. Видим, что $4 \cdot 25 = 100$.
Шаг 2. Переставляем множители (используя сочетательное свойство) так, чтобы удобная пара оказалась рядом: $19 \cdot (4 \cdot 25)$.
Шаг 3. Выполняем действие в скобках: $4 \cdot 25 = 100$.
Шаг 4. Завершаем вычисление: $19 \cdot 100 = 1900$.
Ответ: $1900$.
Вынесение общего множителя
Условие
Найдите значение выражения: $73 \cdot 46-73 \cdot 36$.
Шаг 1. Замечаем, что число $73$ повторяется в обоих произведениях. Это общий множитель.
Шаг 2. Применяем распределительное свойство в обратную сторону и выносим $73$ за скобки: $73 \cdot (46-36)$.
Шаг 3. Вычисляем разность в скобках: $46-36 = 10$.
Шаг 4. Умножаем: $73 \cdot 10 = 730$.
Если считать два произведения отдельно, вычислений было бы больше. Распределительное свойство сводит пример к простым устным действиям.
Ответ: $730$.
Типичные ошибки
Даже при хорошем знании правил можно потерять баллы из-за невнимательности. Проверь самые частые ошибки.
Потеря множителя при раскрытии скобок
Неправильно: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b$.
Здесь на $c$ умножили только первое слагаемое.
Правильно: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Умножать нужно каждое слагаемое внутри скобок.
Путаница со свойствами нуля
Неправильно: $15 \cdot 0 = 15$.
Такую ошибку допускают, когда путают умножение со сложением.
Правильно: $15 \cdot 0 = 0$.
Произведение любого числа и нуля равно нулю.
Игнорирование знака минус
Неправильно: $14 \cdot 5-14 \cdot 2 = 14 \cdot (5 + 2)$.
Знак между произведениями был минус, поэтому внутри скобок тоже должна быть разность.
Правильно: $14 \cdot 5-14 \cdot 2 = 14 \cdot (5-2)$.
При вынесении общего множителя знак между оставшимися числами сохраняется.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Объедини удобные числа и вычисли: $21 + 64 + 79 + 36$.
Задание 2. Выполни умножение самым быстрым способом: $50 \cdot 17 \cdot 2$.
Задание 3. Используй распределительное свойство: $42 \cdot 15 + 42 \cdot 85$.
Задание 4. Реши задание повышенной трудности: $2 \cdot 18 \cdot 5 + 13 \cdot 21-13 \cdot 11$.
Решение к заданию 1. $(21 + 79) + (64 + 36) = 100 + 100 = 200$.
Решение к заданию 2. $17 \cdot (50 \cdot 2) = 17 \cdot 100 = 1700$.
Решение к заданию 3. $42 \cdot (15 + 85) = 42 \cdot 100 = 4200$.
Решение к заданию 4. $2 \cdot 18 \cdot 5 + 13 \cdot 21-13 \cdot 11 = 18 \cdot (2 \cdot 5) + 13 \cdot (21-11) = 180 + 130 = 310$.
Заключение
Свойства сложения и умножения помогают быстро преобразовывать выражения и считать без лишних действий. Теперь ты умеешь переставлять и группировать числа, находить удобные пары, выносить общий множитель за скобки и правильно работать с нулём и единицей. Эти навыки пригодятся в школьных контрольных и при подготовке к ОГЭ по математике. Чтобы не ошибаться, всегда проверяй знаки действий и следи, чтобы при раскрытии скобок множитель относился к каждому слагаемому.
Автор статьи
