Свойства сложения и умножения помогают быстрее считать и упрощать выражения без лишних вычислений столбиком. Эти правила встречаются в школьной математике с 5 класса и нужны для уверенного решения заданий ОГЭ по математике, где важно быстро преобразовывать числовые выражения. Разберём основные законы, покажем алгоритм решения и потренируемся на примерах. После статьи ты сможешь выбирать удобный способ вычислений и избегать типичных ошибок.
Как работают свойства сложения и умножения
Для быстрого счёта используют несколько базовых законов. Они позволяют переставлять и группировать числа так, чтобы сложные вычисления становились устными.
Переместительное свойство
Для сложения: $a + b = b + a$.
Для умножения: $a \cdot b = b \cdot a$.
Например, в выражении $27 + 48 + 73$ удобно поменять порядок слагаемых и сначала сложить $27$ и $73$: $27 + 48 + 73 = 27 + 73 + 48 = 100 + 48 = 148$.
Сочетательное свойство
Для сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Для умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Часто переместительное и сочетательное свойства используют вместе: сначала переставляют числа, а потом группируют самые удобные пары.
Распределительное свойство
Относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Относительно вычитания: $(a-b) \cdot c = a \cdot c-b \cdot c$.
Если работа идёт только с натуральными числами, обычно берут такие значения, при которых уменьшаемое больше или равно вычитаемому.
Распределительное свойство можно применять и в обратную сторону:
$a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$,
$a \cdot c-b \cdot c = (a-b) \cdot c$.
Так мы выносим общий множитель за скобки.
Свойства нуля и единицы
Нуль и единица ведут себя по особым правилам.
При сложении с нулём число не меняется: $a + 0 = a$.
При умножении на нуль любое число превращается в нуль: $a \cdot 0 = 0$.
При умножении на единицу число не меняется: $a \cdot 1 = a$.
Эти свойства простые, но именно в них часто допускают технические ошибки.
Универсальный алгоритм решения
Чтобы вычислить выражение рациональным способом, действуй по шагам:
- Посмотри на выражение и найди круглые числа или пары, которые легко превращаются в круглые числа.
- Проверь последние цифры: при сложении удобно искать пары, которые дают $10$, $100$ и так далее.
- При умножении ищи знакомые сочетания: $2 \cdot 50$, $4 \cdot 25$, $8 \cdot 125$.
- Переставь числа местами, если это помогает собрать удобные пары.
- Сгруппируй числа с помощью скобок.
- Если в нескольких произведениях повторяется один и тот же множитель, вынеси его за скобки.
- Выполни действия внутри скобок.
- Заверши оставшиеся арифметические действия.
Разбор задач
Посмотрим, как свойства сложения и умножения работают в заданиях уровня 5–6-х классов и при подготовке к ОГЭ.
Удобное группирование слагаемых
Условие
Вычислите значение выражения удобным способом: $13 + 58 + 87 + 42$.
Шаг 1. Ищем пары чисел, которые при сложении дадут круглое число. Последняя цифра $3$ хорошо дополняется до десятка цифрой $7$, а $8$ — цифрой $2$.
Шаг 2. Группируем удобные пары, используя переместительное и сочетательное свойства: $(13 + 87) + (58 + 42)$.
Шаг 3. Считаем суммы в скобках:
$13 + 87 = 100$,
$58 + 42 = 100$.
Шаг 4. Складываем получившиеся результаты: $100 + 100 = 200$.
Такой способ короче, чем последовательное сложение четырёх чисел, и снижает риск арифметической ошибки.
Ответ: $200$.
Удобное умножение
Условие
Вычислите рационально: $4 \cdot 19 \cdot 25$.
Шаг 1. Анализируем множители. Видим, что $4 \cdot 25 = 100$.
Шаг 2. Переставляем множители (используя сочетательное свойство) так, чтобы удобная пара оказалась рядом: $19 \cdot (4 \cdot 25)$.
Шаг 3. Выполняем действие в скобках: $4 \cdot 25 = 100$.
Шаг 4. Завершаем вычисление: $19 \cdot 100 = 1900$.
Ответ: $1900$.
Вынесение общего множителя
Условие
Найдите значение выражения: $73 \cdot 46-73 \cdot 36$.
Шаг 1. Замечаем, что число $73$ повторяется в обоих произведениях. Это общий множитель.
Шаг 2. Применяем распределительное свойство в обратную сторону и выносим $73$ за скобки: $73 \cdot (46-36)$.
Шаг 3. Вычисляем разность в скобках: $46-36 = 10$.
Шаг 4. Умножаем: $73 \cdot 10 = 730$.
Если считать два произведения отдельно, вычислений было бы больше. Распределительное свойство сводит пример к простым устным действиям.
Ответ: $730$.
Типичные ошибки
Даже при хорошем знании правил можно потерять баллы из-за невнимательности. Проверь самые частые ошибки.
Потеря множителя при раскрытии скобок
Неправильно: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b$.
Здесь на $c$ умножили только первое слагаемое.
Правильно: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Умножать нужно каждое слагаемое внутри скобок.
Путаница со свойствами нуля
Неправильно: $15 \cdot 0 = 15$.
Такую ошибку допускают, когда путают умножение со сложением.
Правильно: $15 \cdot 0 = 0$.
Произведение любого числа и нуля равно нулю.
Игнорирование знака минус
Неправильно: $14 \cdot 5-14 \cdot 2 = 14 \cdot (5 + 2)$.
Знак между произведениями был минус, поэтому внутри скобок тоже должна быть разность.
Правильно: $14 \cdot 5-14 \cdot 2 = 14 \cdot (5-2)$.
При вынесении общего множителя знак между оставшимися числами сохраняется.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Объедини удобные числа и вычисли: $21 + 64 + 79 + 36$.
Задание 2. Выполни умножение самым быстрым способом: $50 \cdot 17 \cdot 2$.
Задание 3. Используй распределительное свойство: $42 \cdot 15 + 42 \cdot 85$.
Задание 4. Реши задание повышенной трудности: $2 \cdot 18 \cdot 5 + 13 \cdot 21-13 \cdot 11$.
Решение к заданию 1. $(21 + 79) + (64 + 36) = 100 + 100 = 200$.
Решение к заданию 2. $17 \cdot (50 \cdot 2) = 17 \cdot 100 = 1700$.
Решение к заданию 3. $42 \cdot (15 + 85) = 42 \cdot 100 = 4200$.
Решение к заданию 4. $2 \cdot 18 \cdot 5 + 13 \cdot 21-13 \cdot 11 = 18 \cdot (2 \cdot 5) + 13 \cdot (21-11) = 180 + 130 = 310$.
Заключение
Свойства сложения и умножения помогают быстро преобразовывать выражения и считать без лишних действий. Теперь ты умеешь переставлять и группировать числа, находить удобные пары, выносить общий множитель за скобки и правильно работать с нулём и единицей. Эти навыки пригодятся в школьных контрольных и при подготовке к ОГЭ по математике. Чтобы не ошибаться, всегда проверяй знаки действий и следи, чтобы при раскрытии скобок множитель относился к каждому слагаемому.
