Свойства сложения и умножения помогают быстрее считать и упрощать выражения без лишних вычислений столбиком. Эти правила встречаются в школьной математике с 5 класса и нужны для уверенного решения заданий ОГЭ по математике, где важно быстро преобразовывать числовые выражения. Разберём основные законы, покажем алгоритм решения и потренируемся на примерах. После статьи ты сможешь выбирать удобный способ вычислений и избегать типичных ошибок.
Как работают свойства сложения и умножения
Для быстрого счёта используют несколько базовых законов. Они позволяют переставлять и группировать числа так, чтобы сложные вычисления становились устными.
Переместительное свойство
Для сложения: .
Для умножения: .
Например, в выражении удобно поменять порядок слагаемых и сначала сложить $27$ и $73$: .
Сочетательное свойство
Для сложения: .
Для умножения: .
Часто переместительное и сочетательное свойства используют вместе: сначала переставляют числа, а потом группируют самые удобные пары.
Распределительное свойство
Относительно сложения: .
Относительно вычитания: .
Если работа идёт только с натуральными числами, обычно берут такие значения, при которых уменьшаемое больше или равно вычитаемому.
Распределительное свойство можно применять и в обратную сторону:
,
.
Так мы выносим общий множитель за скобки.
Свойства нуля и единицы
Нуль и единица ведут себя по особым правилам.
При сложении с нулём число не меняется: .
При умножении на нуль любое число превращается в нуль: .
При умножении на единицу число не меняется: .
Эти свойства простые, но именно в них часто допускают технические ошибки.
Универсальный алгоритм решения
Чтобы вычислить выражение рациональным способом, действуй по шагам:
- Посмотри на выражение и найди круглые числа или пары, которые легко превращаются в круглые числа.
- Проверь последние цифры: при сложении удобно искать пары, которые дают $10$, $100$ и так далее.
- При умножении ищи знакомые сочетания: , , .
- Переставь числа местами, если это помогает собрать удобные пары.
- Сгруппируй числа с помощью скобок.
- Если в нескольких произведениях повторяется один и тот же множитель, вынеси его за скобки.
- Выполни действия внутри скобок.
- Заверши оставшиеся арифметические действия.
Разбор задач
Посмотрим, как свойства сложения и умножения работают в заданиях уровня 5–6-х классов и при подготовке к ОГЭ.
Удобное группирование слагаемых
Условие
Вычислите значение выражения удобным способом: .
Шаг 1. Ищем пары чисел, которые при сложении дадут круглое число. Последняя цифра $3$ хорошо дополняется до десятка цифрой $7$, а $8$ — цифрой $2$.
Шаг 2. Группируем удобные пары, используя переместительное и сочетательное свойства: .
Шаг 3. Считаем суммы в скобках:
,
.
Шаг 4. Складываем получившиеся результаты: .
Такой способ короче, чем последовательное сложение четырёх чисел, и снижает риск арифметической ошибки.
Ответ: $200$.
Удобное умножение
Условие
Вычислите рационально: .
Шаг 1. Анализируем множители. Видим, что .
Шаг 2. Переставляем множители (используя сочетательное свойство) так, чтобы удобная пара оказалась рядом: .
Шаг 3. Выполняем действие в скобках: .
Шаг 4. Завершаем вычисление: .
Ответ: $1900$.
Вынесение общего множителя
Условие
Найдите значение выражения: .
Шаг 1. Замечаем, что число $73$ повторяется в обоих произведениях. Это общий множитель.
Шаг 2. Применяем распределительное свойство в обратную сторону и выносим $73$ за скобки: .
Шаг 3. Вычисляем разность в скобках: .
Шаг 4. Умножаем: .
Если считать два произведения отдельно, вычислений было бы больше. Распределительное свойство сводит пример к простым устным действиям.
Ответ: $730$.
Типичные ошибки
Даже при хорошем знании правил можно потерять баллы из-за невнимательности. Проверь самые частые ошибки.
Потеря множителя при раскрытии скобок
Неправильно: .
Здесь на умножили только первое слагаемое.
Правильно: .
Умножать нужно каждое слагаемое внутри скобок.
Путаница со свойствами нуля
Неправильно: .
Такую ошибку допускают, когда путают умножение со сложением.
Правильно: .
Произведение любого числа и нуля равно нулю.
Игнорирование знака минус
Неправильно: .
Знак между произведениями был минус, поэтому внутри скобок тоже должна быть разность.
Правильно: .
При вынесении общего множителя знак между оставшимися числами сохраняется.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Объедини удобные числа и вычисли: .
Задание 2. Выполни умножение самым быстрым способом: .
Задание 3. Используй распределительное свойство: .
Задание 4. Реши задание повышенной трудности: .
Решение к заданию 1. .
Решение к заданию 2. .
Решение к заданию 3. .
Решение к заданию 4. .
Заключение
Свойства сложения и умножения помогают быстро преобразовывать выражения и считать без лишних действий. Теперь ты умеешь переставлять и группировать числа, находить удобные пары, выносить общий множитель за скобки и правильно работать с нулём и единицей. Эти навыки пригодятся в школьных контрольных и при подготовке к ОГЭ по математике. Чтобы не ошибаться, всегда проверяй знаки действий и следи, чтобы при раскрытии скобок множитель относился к каждому слагаемому.
